Atlas de poliedros
Vinte e cinco sólidos para rodar com o dedo — dos cinco Platónicos aos Catalanos. Vértices, arestas e faces de cada um, e a fórmula de Euler a confirmar-se em todos.
Não são vinte e cinco objectos independentes. São cinco — os Platónicos — e três operações: cortar os vértices, cortar até meio, e trocar faces por vértices. A bola de futebol é um icosaedro com os vértices cortados. O dodecaedro rômbico é o dual de um cuboctaedro. Perceber as operações é perceber a família inteira, e é isso que este atlas mostra: cada sólido diz de onde vem.
Só existem cinco Platónicos
Um sólido platónico tem todas as faces iguais e regulares, e o mesmo número delas em cada vértice. Parece uma definição que admite muitos casos — e admite exactamente cinco. A razão é simples de ver: à volta de um vértice os ângulos das faces têm de somar menos de , senão o sólido não fecha. Com triângulos equiláteros () cabem 3, 4 ou 5; com quadrados () só 3; com pentágonos () só 3; com hexágonos () já são e fica plano. Cinco possibilidades, cinco sólidos.
A fórmula de Euler
Em qualquer poliedro convexo, . Um cubo: . Um icosaedro truncado, com 60 vértices e 90 arestas: . Nesta página o número é calculado a partir dos três valores de cada sólido — não está escrito à mão em lado nenhum. Podes verificar em todos.
Duais: trocar faces por vértices
O dual de um sólido obtém-se pondo um vértice no centro de cada face e ligando os vizinhos. O cubo (6 faces, 8 vértices) dá o octaedro (8 faces, 6 vértices) — os números trocam. O dodecaedro e o icosaedro são duais um do outro. O tetraedro é dual de si próprio. Os cinco Catalanos deste atlas são todos duais de Arquimedianos.