Matemática · Trigonometria

Círculo trigonométrico

O círculo que se arrasta, com o seno, o cosseno e a tangente a mexer. Valores exactos, reduções ao 1.º quadrante, equações e inequações resolvidas no arco, identidades e funções transformadas — a trigonometria toda do secundário, para ter aberta ao lado dos exercícios.

A abrir a ferramenta…

A trigonometria decora-se mal e percebe-se bem. O seno de um ângulo não é um número numa tabela: é a altura do ponto no círculo de raio 1. O cosseno é a distância à esquerda ou à direita. A tangente é onde a recta que passa pela origem corta a vertical $x = 1$ . Quando se vê isto uma vez, o sinal por quadrante deixa de se decorar — lê-se. E as reduções ao primeiro quadrante deixam de ser seis regras e passam a ser uma: reflectir.

Porque é que o círculo tem raio 1

Num círculo de raio $r$ , a altura do ponto é $r sin α$ e a distância horizontal é $r cos α$ . Com $r = 1$ , as duas fórmulas ficam apenas $sin α$ e $cos α$ — o seno e o cosseno passam a ser literalmente as coordenadas do ponto. É por isso que se escolhe 1: não por ser bonito, mas porque faz desaparecer o factor que não interessa.

A fórmula fundamental não é uma fórmula

É o teorema de Pitágoras. O ponto do círculo tem coordenadas $(cos α, sin α)$ e está à distância 1 da origem. Aplicando Pitágoras ao triângulo que ele forma com os eixos: $cos^{2} α + sin^{2} α = 1^{2}$ . Nada mais. Quem percebe isto nunca mais precisa de a decorar, e percebe também porque é que ela vale para qualquer ângulo, incluindo os obtusos e os negativos.

Porque é que a tangente vive na recta $x=1$

A tangente de $α$ é $\frac{sin α}{cos α}$ . Se prolongares a recta que passa pela origem e pelo ponto do círculo até ela cortar a vertical $x = 1$ , a ordenada desse ponto de intersecção é exactamente esse quociente — por semelhança de triângulos. E fica clara a razão de a tangente não existir em $\frac{π}{2}$ : aí a recta é vertical e nunca chega a cortar a vertical $x = 1$ .

As inequações resolvem-se no arco

Resolver $sin x \geq \frac{1}{2}$ não é procurar números: é traçar a recta horizontal $y = \frac{1}{2}$ , ver onde ela corta o círculo, e ficar com o arco que está por cima dela. A resposta é esse arco, escrito como intervalo. É por isso que estas inequações se fazem melhor no círculo do que no gráfico — no círculo, o conjunto-solução é uma coisa que se vê de uma vez.

Erros que a ferramenta ajuda a não cometer

Três, por ordem de frequência. Primeiro: nas reduções, $\frac{π}{2} \pm α$ TROCA o seno com o cosseno, ao contrário de $π \pm α$ que mantém a função. Segundo: no cosseno da soma, o sinal inverte-se — $cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$ . Terceiro: numa equação com intervalo, esquecer soluções que caem fora do primeiro período, ou incluir as que já saíram do intervalo pedido.