Régua e compasso
As construções clássicas de Euclides como jogo: tens régua e compasso e é-te pedido o objecto. Mediatriz, bissectriz, perpendiculares, hexágono, tangente — onze desafios, com pistas passo a passo quando emperras.
Uma construção com régua e compasso não é um desenho bonito: é uma demonstração feita com a mão. A régua não mede — só une dois pontos. O compasso não transporta medidas — só abre de um ponto a outro e fecha-se ao levantar. Com estas duas limitações, os gregos construíram mediatrizes, bissectrizes, perpendiculares e polígonos regulares, e provaram que cada uma estava certa. Aqui a verificação é a mesma que eles fariam: ou o teu objecto coincide com o alvo, ou não coincide — e dois pontos postos a olho falham por várias ordens de grandeza.
Porque é que a régua não pode ter marcas
Parece uma regra arbitrária e não é: é o que torna as construções demonstráveis. Uma régua graduada mede comprimentos aproximados — 3,7 cm é 3,7 cm mais o erro do olho. Uma régua sem marcas só faz uma coisa, e fá-la exactamente: a recta por dois pontos. Tudo o que se construir a partir daí é exacto por construção, não por medição. É por isso que uma mediatriz feita com dois círculos é a mediatriz, e não uma recta que passa perto do meio.
O compasso que se fecha
O compasso de Euclides é «colapsante»: ao levantá-lo do papel, fecha-se. Não se pode abrir uma distância aqui e ir pousá-la ali. Parece uma limitação séria — e o desafio «Transportar um segmento» mostra como Euclides a contorna, na Proposição 2 do Livro I. O resultado é surpreendente: um compasso que transporta medidas não constrói nada que o colapsante não construa. Só poupa passos.
A mediatriz está em todo o lado
Repara em quantos desafios acabam numa mediatriz disfarçada. A bissectriz de um ângulo é a mediatriz de uma corda. A perpendicular num ponto é a mediatriz de dois pontos simétricos. O centro de uma circunferência é o cruzamento das mediatrizes de duas cordas. Aprender uma construção a sério vale mais do que decorar cinco — porque as outras quatro são a mesma, vista de outro ângulo.
O que régua e compasso NÃO conseguem
Há três problemas que os gregos deixaram em aberto e que ficaram famosos: trissectar um ângulo qualquer, duplicar o cubo e quadrar o círculo. Durante dois mil anos procurou-se a construção. No século XIX provou-se que nenhuma existe — não por falta de engenho, mas porque as duas ferramentas só constroem certos números, e esses três problemas caem fora deles. É dos raros casos em que a matemática prova que algo é impossível, em vez de continuar a procurar.