Exame de Matemática 3.º ciclo 2025 · Prova-ensaio — item 5, resolvido

Cotação 9 pontosEscolha múltiplaVerificado

Enunciado

Instituto de Avaliação Educativa · prova 92 · 2025 · Prova-ensaio

A Figura 1 é uma fotografia de uma forma utilizada no fabrico de pastéis de nata, uma das iguarias portuguesas mais conhecidas no mundo.

Fotografia de uma forma metálica de pastéis de nata: um recipiente redondo, mais largo em cima do que em baixo. — Figura 1

Na Figura 2, está representado um modelo geométrico dessa forma, que é um tronco de cone.

Relativamente ao modelo representado na Figura 2, e fixada uma unidade de medida, sabe-se que, para um certo número real $x$ , com $0 < x < 2$ :

o tronco de cone tem bases de diâmetro $[A B]$ e de diâmetro $[C D]$ ;
$6$ é a altura do cone reto de vértice $V$ em que $[A B]$ é um diâmetro da base;
$3 x$ é a altura do cone reto de vértice $V$ em que $[C D]$ é um diâmetro da base;
$\overline{A B} = 4$ ;
$\overline{C D} = 2 x$ .

O modelo não está desenhado à escala.

Cone de vértice V em baixo, com a base de diâmetro [AB] = 4 em cima e uma secção paralela de diâmetro [CD] = 2x mais abaixo. A parte entre as duas bases — o tronco de cone — está colorida a amarelo; o cone pequeno, de [CD] até V, a verde claro. À direita, as alturas: 6, de V até [AB], e 3x, de V até [CD]. — Figura 2

Assinala a opção que apresenta uma expressão algébrica, em função de $x$ , que representa o volume do tronco de cone, a amarelo, na Figura 2.

Resolução explicada

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

Um tronco de cone é o cone grande menos o cone pequeno, com o mesmo vértice. Cada volume sai do formulário: $\frac{1}{3} \times \overset{ˊ}{A} rea da base \times altura$ , e a base de um cone é um círculo de área $π r^{2}$ .

1.º — o cone grande

Base de diâmetro $\overline{A B} = 4$ , logo raio $2$ ; altura $6$ :

\frac{1}{3} \times π \times 2^{2} \times 6 = 8 π

2.º — o cone pequeno

Base de diâmetro $\overline{C D} = 2 x$ , logo raio $x$ ; altura $3 x$ :

\frac{1}{3} \times π \times x^{2} \times 3 x = π x^{3}

3.º — o tronco é a diferença

V_{tronco} = 8 π - π x^{3}

A opção certa é $8 π - π x^{3}$ .

de onde vem cada opção errada

$π x^{3}$ — é o volume do cone pequeno, o que se tira.

$24 π - 3 π x^{3}$ — é a diferença certa sem o $\frac{1}{3}$ : usa a fórmula do cilindro em vez da do cone.

$3 π x^{3}$ — é o cone pequeno sem o $\frac{1}{3}$ .

onde se perdem os 9 pontos

Escolha múltipla: ou certo, ou zero. Os dois deslizes: usar o diâmetro como se fosse o raio (dá $32 π - 4 π x^{3}$ , que nem está nas opções) e esquecer o $\frac{1}{3}$ do cone.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Tronco = sólido grande − sólido pequeno. No cone, passa sempre do diâmetro para o raio antes de usar $π r^{2}$ , e não te esqueças do $\frac{1}{3}$ .

Tenta primeiro no papel.

Quem lê a resolução antes de tentar acha que percebeu — e volta a errar no exame.

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

Este tópico tem mais 2 exercícios resolvidos

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✓Treinar o tópico inteiro, um a um
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