Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 8, resolvido

Cotação 7 pontosResposta abertaVerificado

Enunciado

Instituto de Avaliação Educativa · prova 92 · 2024 · 2.ª fase

A compostagem doméstica consiste em utilizar os restos dos alimentos e os detritos resultantes da manutenção do jardim, reciclando, sem custos, a matéria orgânica para, mais tarde, a devolver ao solo sob a forma de fertilizante natural. Alguns municípios promovem este processo, que contribui para a redução do aquecimento global.

A Figura 2 é uma fotografia de um compostor doméstico.

Fotografia a preto e branco de um compostor doméstico: um recipiente escuro, mais largo em baixo do que em cima, com tampa e uma portinhola na base, assente numa laje de pedra junto a uma árvore. — Figura 2

Na Figura 3, apresenta-se um modelo geométrico desse compostor, que é um tronco de cone.

Relativamente ao modelo representado na Figura 3, sabe-se que:

o tronco de cone tem bases de diâmetro $[A B]$ e de diâmetro $[C D]$ ;
o cone reto de vértice $V$ , em que $[A B]$ é um diâmetro da base, tem $2, 4 m$ de altura;
o tronco de cone, representado a cinzento-escuro, tem $0, 9 m$ de altura;
$\overline{A B} = 0, 8 m$ ;
$\overline{C D} = 0, 5 m$ .

O modelo não está desenhado à escala.

Cone reto de vértice V, no topo, e base de diâmetro [AB] = 0,8 m, em baixo. Um corte paralelo à base, de diâmetro [CD] = 0,5 m, separa a parte de cima, a cinzento-claro, do tronco de cone de baixo, a cinzento-escuro. À direita, as cotas: 2,4 m do vértice V à base, e 0,9 m da base [AB] ao corte [CD]. — Figura 3

Calcula o volume do tronco de cone, representado a cinzento-escuro na Figura 3.

Apresenta todos os cálculos que efetuares e, ainda, o resultado em metros cúbicos, arredondado às décimas.

Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, três casas decimais.

Resposta de exame

O que se escreve na prova para ter a cotação toda.

O volume do tronco de cone é igual à diferença entre o volume do cone em que $[A B]$ é um diâmetro da base e o volume do cone em que $[C D]$ é um diâmetro da base.

Cone em que $[A B]$ é um diâmetro da base: raio $\frac{0 , 8}{2} = 0, 4 m$ e altura $2, 4 m$ .

V_{1} = \frac{1}{3} \times π \times 0, 4^{2} \times 2, 4 = 0, 128 π \approx 0, 402 m^{3}

Cone em que $[C D]$ é um diâmetro da base: raio $\frac{0 , 5}{2} = 0, 25 m$ e altura $2, 4 - 0, 9 = 1, 5 m$ .

V_{2} = \frac{1}{3} \times π \times 0, 2 5^{2} \times 1, 5 = 0, 03125 π \approx 0, 098 m^{3}

V_{tronco} = V_{1} - V_{2} \approx 0, 402 - 0, 098 = 0, 304

O volume do tronco de cone é, aproximadamente, $0, 3 m^{3}$ .

Tenta primeiro no papel.

Quem lê a resolução antes de tentar acha que percebeu — e volta a errar no exame.

Mostra só o que se escreve na prova. A resolução explicada fica fechada — abres depois, se quiseres.

Resolução explicada

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

O ponto de partida: não há uma fórmula do tronco de cone que tenhas de saber. O que sabes — e está no formulário da prova — é o volume do cone:

V_{cone} = \frac{1}{3} \times A_{base} \times altura, A_{base} = π r^{2}

A ideia é olhar para a Figura 3 de outra maneira. O tronco de cone (cinzento-escuro) não aparece sozinho: em cima dele há um cone mais pequeno (cinzento-claro), de vértice $V$ . Os dois juntos formam o cone grande, de base com diâmetro $[A B]$ . Então:

V_{tronco} = V_{cone grande} - V_{cone pequeno}

É isto que resolve o item: o volume de uma figura que não sabes calcular obtém-se tirando a uma figura que sabes calcular uma outra que também sabes. Escrever esta ideia vale $2$ pontos por si.

1.º — os dados de cada cone

Antes das contas, organiza o que cada cone tem. Este é o passo onde mais se erra, porque os dados do enunciado não vêm prontos a usar.

Cone grande (vértice $V$ , base de diâmetro $[A B]$ ):

o raio é metade do diâmetro: $r = \frac{A B}{2} = \frac{0 , 8}{2} = 0, 4 m$ ;
a altura é dada: $2, 4 m$ .

Cone pequeno (vértice $V$ , base de diâmetro $[C D]$ ):

o raio é $r = \frac{C D}{2} = \frac{0 , 5}{2} = 0, 25 m$ ;
a altura não é dada. Vai do vértice $V$ até à base de diâmetro $[C D]$ . A altura do cone grande ( $2, 4 m$ ) é a do cone pequeno mais a do tronco ( $0, 9 m$ ). Logo, a altura do cone pequeno é $2, 4 - 0, 9 = 1, 5 m$ .

Os $0, 9 m$ são a altura do tronco, não de nenhum dos cones. Não entram diretamente em nenhuma das duas fórmulas — só servem para chegar aos $1, 5 m$ .

2.º — o volume do cone grande

A área da base é a área de um círculo de raio $0, 4 m$ :

A_{base} = π \times 0, 4^{2} = 0, 16 π m^{2}

E o volume:

V_{cone grande} = \frac{1}{3} \times 0, 16 π \times 2, 4 = 0, 128 π \approx 0, 402 m^{3}

(O valor de $0, 128 π$ sai da calculadora, com a tecla $π$ : $0, 40212 \dots$ Guarda pelo menos três casas decimais, como o enunciado manda.)

3.º — o volume do cone pequeno

A_{base} = π \times 0, 2 5^{2} = 0, 0625 π m^{2}

V_{cone pequeno} = \frac{1}{3} \times 0, 0625 π \times 1, 5 = 0, 03125 π \approx 0, 098 m^{3}

(Na calculadora, $0, 03125 π = 0, 09817 \dots$ )

4.º — a diferença e o arredondamento

V_{tronco} \approx 0, 402 - 0, 098 = 0, 304 m^{3}

O enunciado pede o resultado arredondado às décimas. Em $0, 304$ , o algarismo das centésimas é $0$ , menor do que $5$ , e por isso o das décimas mantém-se:

V_{tronco} \approx 0, 3 m^{3}

Se preferires não arredondar a meio, faz a diferença com $π$ até ao fim: $0, 128 π - 0, 03125 π = 0, 09675 π \approx 0, 30395$ , que também dá $0, 3 m^{3}$ . Este caminho é ainda mais seguro: arredonda-se uma só vez, no fim.

O volume do tronco de cone é, aproximadamente, $0, 3 m^{3}$ .

os dados batem certo e o valor faz sentido

Os dois cones partilham o vértice e têm bases paralelas, por isso são semelhantes. A razão dos raios é $\frac{0 , 25}{0 , 4} = 0, 625$ e a razão das alturas é $\frac{1 , 5}{2 , 4} = 0, 625$ — a mesma, como tem de ser. É a confirmação de que os $1, 5 m$ estão certos.

E a semelhança dá ainda outra conferência: os volumes de figuras semelhantes estão na razão do cubo da razão de semelhança. $0, 62 5^{3} \approx 0, 244$ , portanto o cone pequeno tem cerca de $24%$ do volume do grande: $0, 244 \times 0, 402 \approx 0, 098$ . O tronco fica com os restantes $76%$ , à volta de $0, 30 m^{3}$ . Faz sentido: a parte de baixo do cone é a mais larga, e é lá que está a maior parte do volume.

onde se perdem pontos

Usar o diâmetro como se fosse o raio. Com $0, 8$ e $0, 5$ no lugar de $0, 4$ e $0, 25$ , cada volume fica quatro vezes maior (o raio vai ao quadrado). Perdes as duas etapas dos volumes.
Dar ao cone pequeno a altura errada. Usar $0, 9 m$ (a altura do tronco) ou $2, 4 m$ (a do cone grande) em vez de $1, 5 m$ estraga a etapa do cone pequeno, que vale $2$ pontos.
Calcular um só cone, com a altura do tronco. $\frac{1}{3} \times π \times 0, 4^{2} \times 0, 9$ é o volume de um cone de $0, 9 m$ de altura, que não está na figura. Sem a ideia da diferença, perdes a primeira etapa e as seguintes.
Esquecer o $\frac{1}{3}$ . Sem ele, estás a calcular o volume de cilindros, não de cones.
Arredondar a meio com menos de três casas decimais. $0, 4 - 0, 1 = 0, 3$ dá, por acaso, o valor certo, mas os critérios gerais desvalorizam cálculos intermédios com um número de casas decimais diferente do pedido. O enunciado diz «pelo menos três»: cumpre-o.
Não arredondar no fim. Responder $0, 304 m^{3}$ é apresentar o valor com um número de casas decimais diferente do solicitado, outra situação de desvalorização.
Duas coisas que não custam pontos, pelos critérios gerais: omitir a unidade ( $m^{3}$ ) e escrever $=$ onde devia estar $\approx$ . Ainda assim, escreve as duas bem — é a forma correta.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando te pedem o volume (ou a área) de uma figura que não tem fórmula direta — um tronco de cone, um tronco de pirâmide, um sólido com um buraco —, procura duas figuras conhecidas cuja diferença (ou soma) seja a que queres. No tronco de cone, é sempre «cone grande menos cone pequeno». Depois, antes de qualquer conta, escreve o raio e a altura de cada cone: o raio é metade do diâmetro, e a altura do cone pequeno obtém-se subtraindo a altura do tronco à do cone grande.

Primeiro, a resposta de exame.

A resolução explicada abre-se depois, à parte, se quiseres perceber o porquê.

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