Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 6, resolvido

O ponto de partida é reconhecer o tipo de equação. $x^2-25=0$ é uma equação do 2.º grau incompleta: tem o termo em $x^2$ e o termo independente, mas não tem termo em $x$. Equações destas não precisam da fórmula resolvente — resolvem-se isolando $x^2$ e pensando em que números têm aquele quadrado.

E há uma ideia que decide o item inteiro: um número positivo tem duas raízes quadradas, uma positiva e uma negativa. É aí que se ganha ou se perde.

1.º — isolar o quadrado

Passa o $25$ para o outro membro, trocando-lhe o sinal (somas $25$ aos dois membros):

A pergunta passou a ser: que números, multiplicados por si próprios, dão $25$?

2.º — as duas soluções

$5\times 5=25$, e também $(-5)\times (-5)=25$, porque menos vezes menos dá mais. Há, por isso, dois números cujo quadrado é $25$:

Repara no símbolo $\sqrt{25}$: ele designa só a raiz positiva, $5$. É por isso que se escreve o $-\sqrt{25}$ à parte — se escreveres apenas $x=\sqrt{25}$, perdes metade das soluções.

pela diferença de quadrados

O primeiro membro, $x^2-25$, é uma diferença de quadrados: $x^2-5^2$. E $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Então:

Agora usa a lei do anulamento do produto: um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero.

Este caminho tem uma vantagem: faz as duas soluções aparecerem sozinhas, uma de cada fator, e não dá para esquecer a negativa. É o caminho a preferir sempre que reconheças um quadrado menos outro quadrado.

3.º — o conjunto solução

O conjunto solução reúne as duas:

A opção certa é a (A).

substituir na equação

$(-5{)}^2-25=25-25=0$ e $5^2-25=25-25=0$. Os dois valores tornam a igualdade verdadeira. Repara também nos parênteses: $(-5{)}^2=25$, mas $-5^2=-25$ (sem parênteses, o expoente só se aplica ao $5$). Na substituição, os parênteses são obrigatórios.

de onde vem cada opção errada

(B) $\{0,5\}$ — é o conjunto solução de outra equação: $x^2-5x=0$, que se resolve pondo $x$ em evidência, $x(x-5)=0$. Quem tem este molde na cabeça («uma solução é sempre $0$») aplica-o onde não serve. Testa o $0$: $0^2-25=-25\ne 0$, por isso o $0$ não é solução.

(C) $\{-5\}$ — fica só com a raiz negativa. É o engano de quem vê o sinal $-$ do $-25$ na equação e o transporta para a solução, como se ele dissesse «a solução é negativa». Mas o $-25$ passa para o outro membro como $+25$, e a partir daí o sinal da equação já não diz nada sobre o sinal das soluções. Testa o $5$: $5^2-25=0$, por isso o $5$ também é solução e não pode ficar de fora.

(D) $\{5\}$ — é o engano mais frequente: ler $x^2=25$ como $x=\sqrt{25}$ e parar aí, esquecendo que $(-5{)}^2$ também dá $25$. A resposta está certa pela metade, e num item de escolha múltipla metade é zero.

onde se perdem os 6 pontos

Num item de escolha múltipla não há cotação parcial: ou assinalas a opção certa, ou o item vale zero. O que este item testa é uma só coisa — lembrares-te da raiz negativa. Quem assinala a (D) sabe resolver a equação mas esqueceu-se de metade das soluções, e o item foi construído exatamente para apanhar isso.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que chegares a $x^2=a$, com $a>0$, escreve logo $x=-\sqrt{a}\vee x=\sqrt{a}$ — duas soluções, simétricas. Se $a=0$, a solução é só $x=0$; se $a<0$, a equação é impossível (nenhum quadrado é negativo). E se vires «um quadrado menos um número que é quadrado perfeito», fatoriza como diferença de quadrados e usa a lei do anulamento do produto: as duas soluções saem uma de cada fator.