Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 9, resolvido

O ponto de partida é a definição de mediana: depois de ordenar os dados, é o valor do meio. Quando o número de dados é par, não há um só valor do meio — há dois, e a mediana é a média desses dois. Aqui há $8$ temas, logo $8$ dados: a mediana é a média do $4{.}^{\circ }$ e do $5{.}^{\circ }$ valores, depois de ordenados.

A dificuldade do item é que dois dos dados são desconhecidos ($k$), e tens de os pôr no sítio certo da lista ordenada. É para isso que serve a informação $9<k<18$.

1.º — ordenar os dados, com k no seu lugar

Os valores conhecidos são $18,8,9,7,18,9$ e os dois $k$. Ordena primeiro os conhecidos:

Agora encaixa os dois $k$. Como $k>9$, ficam depois dos dois $9$; como $k<18$, ficam antes dos dois $18$:

Conta: são $8$ valores. Repara que, sem a condição $9<k<18$, não conseguias saber onde ficava o $k$ — e a posição dele decide quais são os valores do meio.

2.º — os dois valores do meio

Com $8$ dados, os do meio são o $4{.}^{\circ }$ e o $5{.}^{\circ }$ (ficam três valores antes e três depois). Na lista ordenada, o $4{.}^{\circ }$ é $9$ e o $5{.}^{\circ }$ é $k$. A mediana é a média deles:

3.º — igualar a 11 e resolver

O enunciado diz que a mediana é $11$:

Multiplicaste os dois membros por $2$ para te livrares do denominador, e depois subtraíste $9$.

o valor encontrado cumpre tudo?

Primeiro, $9<13<18$: o $k$ está no intervalo dado, por isso a ordenação que fizeste continua válida. Depois, com $k=13$ a lista é $7,8,9,9,13,13,18,18$ e a mediana é $\frac{9+13}{2}=\frac{22}{2}=11$. Bate certo.

A opção certa é a (D).

de onde vem cada opção errada

Uma forma de ver as quatro opções de uma vez é testar cada uma na lista ordenada e calcular a mediana $\frac{9+k}{2}$:

Só $k=13$ dá a mediana $11$. Quanto aos enganos que levam às outras:

(B) $11$ — é confundir a mediana com o próprio $k$. Quem pensa que «o valor do meio é o $k$» (porque os dois $k$ estão perto do centro da lista) responde que $k$ é a mediana. Mas o centro de uma lista com $8$ valores fica entre o $4{.}^{\circ }$ e o $5{.}^{\circ }$, e o $4{.}^{\circ }$ é $9$, não $k$.

(A) $10$ — sai de tratar o $11$ como se fosse um dos valores do meio e fazer a média com o $9$: $\frac{9+11}{2}=10$. A conta está feita ao contrário: a média dos dois valores do meio é que tem de dar $11$, não é o $11$ que entra na média.

(C) $12$ — é o valor de quem escolhe «um pouco acima de $11$» sem fazer a conta, percebendo que o $k$ tem de puxar a mediana para cima do $9$, mas sem perceber quanto. Como o $9$ fica $2$ abaixo de $11$, o $k$ tem de ficar $2$ acima, para a média dar exatamente $11$: $k=13$.

onde se perdem os 6 pontos

Num item de escolha múltipla não há cotação parcial. Os enganos que este item convida a fazer são três: não ordenar os dados antes de procurar o meio (a mediana de uma lista desordenada não quer dizer nada), esquecer que os $k$ são dois (com $7$ dados, o meio passava a ser um só valor) e confundir a mediana com um dos dados quando o número de dados é par.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Num item de mediana com um valor desconhecido: (1) conta os dados — par ou ímpar? (2) ordena-os, usando as condições do enunciado para pôr a incógnita no lugar certo; (3) identifica os valores do meio — um, se o número de dados for ímpar; dois, se for par; (4) escreve a mediana com a incógnita e iguala ao valor dado. Termina sempre a verificar se o valor encontrado respeita as condições, porque é delas que depende a ordenação.