Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 15, resolvido

O ponto de partida. A parte sombreada é o quadrado grande $[ABCD]$ sem o quadrado branco $[EFGH]$ que está lá dentro. A área dela é uma diferença de áreas:

A área de um quadrado é o lado ao quadrado. O quadrado pequeno é fácil; o grande tem o lado $x-2$, e é aí que o item mede o que quer medir: o quadrado de uma diferença, um dos casos notáveis.

1.º — a área do quadrado pequeno

2.º — a área do quadrado grande: o caso notável

Para desenvolver $(x-2{)}^2$ usa o caso notável do quadrado da diferença:

Com $a=x$ e $b=2$:

Porque é que aparece o termo do meio? Porque $(x-2{)}^2$ é $(x-2)(x-2)$, e ao multiplicar cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo aparecem quatro produtos: $x\times x=x^2$, $x\times (-2)=-2x$, $(-2)\times x=-2x$ e $(-2)\times (-2)=4$. Os dois do meio somam $-4x$. Quem escreve $(x-2{)}^2=x^2-4$ ou $x^2+4$ esqueceu-se deles.

3.º — a diferença

Resposta: opção (A).

pela diferença de quadrados

A expressão $(x-2{)}^2-10^2$ é ela própria um caso notável, a diferença de quadrados, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

Desenvolvendo, $(x-12)(x+8)=x^2+8x-12x-96=x^2-4x-96$. O mesmo resultado. Repara também que esta forma explica a condição $x>12$ do enunciado: só com $x>12$ é que $x-12>0$ e a área sombreada é positiva — isto é, só assim o lado do quadrado grande, $x-2$, é maior do que $10$ e o quadrado branco cabe lá dentro.

conferir com um número

Escolhe um valor de $x$ maior do que $12$, por exemplo $x=13$. O lado do quadrado grande é $11$, e a área sombreada é $11^2-10^2=121-100=21$. Nas opções:

• (A) $13^2-4\times 13-96=169-52-96=21$ ✓
• (B) $169-52-104=13$
• (C) $169-104=65$
• (D) $169-96=73$

Só a (A) dá $21$. Esta substituição leva meio minuto e decide o item mesmo que tenhas dúvidas no caso notável.

a origem de cada opção errada

• (B) $x^2-4x-104$ — o termo do meio está certo, mas o último saiu com o sinal trocado: $(x-2{)}^2=x^2-4x-4$. Acontece a quem pensa «$-2$ ao quadrado dá $-4$». Mas $(-2{)}^2=(-2)\times (-2)=+4$: o quadrado de um número nunca é negativo. Daí $-4-100=-104$.
• (C) $x^2-104$ — escreveu $(x-2{)}^2=x^2-2^2=x^2-4$, isto é, elevou cada termo ao quadrado e manteve o sinal de menos entre eles. É confundir o quadrado da diferença com a diferença de quadrados. Sem o termo do meio e com o sinal errado: $x^2-4-100=x^2-104$.
• (D) $x^2-96$ — elevou cada termo ao quadrado, $(x-2{)}^2=x^2+4$: o último termo está certo, mas falta o termo do meio, $-4x$. Daí $x^2+4-100=x^2-96$.

As três erradas são três maneiras diferentes de errar o mesmo caso notável. O item não está a medir se sabes subtrair áreas — está a medir se sabes que $(a-b{)}^2\ne a^2-b^2$.

onde se perdem pontos

Item de escolha múltipla: os $6$ pontos vêm inteiros ou não vêm, e errar não desconta.

• Desenvolver $(x-2{)}^2$ termo a termo. É a origem das três opções erradas. O quadrado de uma diferença tem três termos: o quadrado do primeiro, o dobro do produto (com o sinal do meio) e o quadrado do segundo, sempre positivo.
• Somar as áreas em vez de subtrair. O quadrado branco é um buraco na parte sombreada; a sua área sai, não entra.
• Não usar a verificação numérica. Com qualquer $x>12$ as quatro opções dão valores diferentes, e a figura dá o valor certo. É uma confirmação grátis.
• Assinalar duas opções. Só é classificada a resposta que surgir em primeiro lugar.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Uma área sombreada que é «uma figura menos outra» resolve-se como diferença de áreas. Quando um lado vem dado por uma expressão como $x-2$ ou $x+3$, a área traz um caso notável: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ e $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ — três termos, nunca dois. E perante opções com $x$, substitui um valor que respeite as condições do enunciado: a opção certa é a única que bate com a figura.