Exame de Matemática 3.º ciclo 2026 · Prova-ensaio — item 2, resolvido

Resolver uma inequação do 1.º grau é transformá-la, passo a passo, noutra equivalente (com as mesmas soluções) cada vez mais simples, até ficar $x$ sozinho de um lado. Cada caixa é uma dessas transformações. O truque para as ordenar é perguntar, de cada vez: o que é que mudou da linha anterior para esta? Só há uma caixa que se obtém da anterior com uma única operação.

1.º — primeira caixa: tirar os parênteses

Na inequação inicial há dois parênteses. No primeiro membro, $\frac{2(x-7)}{12}$ simplifica-se dividindo o $2$ e o $12$ por $2$: fica $\frac{x-7}{6}$. No segundo membro aplica-se a propriedade distributiva: $\frac{4}{3}(x+5)=\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$.

2.º — segunda caixa: termos com $x$ para um lado, números para o outro

Escreve $\frac{x-7}{6}$ como $\frac{1}{6}x-\frac{7}{6}$. Agora passa $\frac{4}{3}x$ para o primeiro membro e $-\frac{7}{6}$ e $-\frac{1}{3}$ para o segundo — cada termo que muda de membro muda de sinal:

3.º — terceira caixa: juntar os termos semelhantes no primeiro membro

$\frac{1}{6}x-\frac{4}{3}x=\frac{1}{6}x-\frac{8}{6}x=-\frac{7}{6}x$. No segundo membro, junta só as duas fracções de denominador $3$: $\frac{1}{3}+\frac{20}{3}=\frac{21}{3}=7$. O $\frac{7}{6}$ fica para o passo seguinte.

4.º — quarta caixa: acabar o segundo membro

$\frac{7}{6}+7=\frac{7}{6}+\frac{42}{6}=\frac{49}{6}$.

5.º — quinta caixa: tirar os denominadores — e o sinal vira

Multiplica os dois membros por $-6$. Como é um número negativo, o sinal da desigualdade inverte-se: $<$ passa a $>$.

Dividindo por $7$ (positivo, o sinal mantém-se) chega-se à última linha que já estava escrita, $x>-7$, e a $S=]-7,+\infty [$.

A ordem das caixas é, portanto: $\frac{x-7}{6}-\frac{1}{3}<\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$ → $\frac{1}{6}x-\frac{4}{3}x<\frac{7}{6}+\frac{1}{3}+\frac{20}{3}$ → $-\frac{7}{6}x<\frac{7}{6}+7$ → $-\frac{7}{6}x<\frac{49}{6}$ → $7x>-49$.

confirma com um número

Escolhe um número de $S$, por exemplo $x=1$: à esquerda, $\frac{2(1-7)}{12}-\frac{1}{3}=-1-\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$; à direita, $\frac{4}{3}(1+5)=8$. E $-\frac{4}{3}<8$ é verdade. Com um número fora de $S$, como $x=-10$: à esquerda $-\frac{17}{6}-\frac{1}{3}=-\frac{19}{6}$, à direita $-\frac{20}{3}=-\frac{40}{6}$, e $-\frac{19}{6}<-\frac{40}{6}$ é falso. Bate certo.

onde se perdem os 8 pontos

O item é tudo ou nada: basta uma caixa fora do sítio para valer zero. As trocas mais comuns são a terceira com a quarta (as duas têm $-\frac{7}{6}x$ à esquerda — a que ainda tem uma soma por fazer à direita vem antes) e pôr $7x>-49$ antes de $-\frac{7}{6}x<\frac{49}{6}$, esquecendo que é ao multiplicar por um negativo que o sinal vira.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Para ordenar etapas, compara cada caixa com a anterior e procura uma só operação entre elas: tirar parênteses, mudar de membro, juntar termos semelhantes, tirar denominadores. E fixa a regra que mais pesa nas inequações: multiplicar ou dividir por um número negativo inverte o sinal da desigualdade.