Exame de Matemática 3.º ciclo 2026 · Prova-ensaio — item 8, resolvido

Os dois triângulos são isósceles e rectângulos, por isso têm os mesmos ângulos ($90^{\circ }$, $45^{\circ }$, $45^{\circ }$): são semelhantes. Em triângulos semelhantes, o quociente dos perímetros é igual à razão de semelhança — o quociente de dois lados correspondentes. Basta, então, conhecer um cateto de cada um.

1.º — o cateto do triângulo [CBA]

É dado: $\overline{AB}=12$ e, sendo isósceles com o recto em $B$, também $\overline{BC}=12$.

2.º — o cateto do triângulo [EDC], a partir da área

No triângulo $[EDC]$, os catetos $[ED]$ e $[DC]$ são iguais; chama-lhes $c$. A área de um triângulo rectângulo é metade do produto dos catetos:

(a medida é positiva, por isso fica só $c=6$).

3.º — a razão de semelhança e o quociente dos perímetros

Os catetos correspondem-se: $\frac{12}{6}=2$. O triângulo $[CBA]$ é uma ampliação de razão $2$ do triângulo $[EDC]$, e todos os comprimentos — os perímetros incluídos — ficam multiplicados por $2$:

A opção certa é $2$.

pelas contas todas

Hipotenusas: $\sqrt{12^2+12^2}=12\sqrt{2}$ e $\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$. Perímetros: $24+12\sqrt{2}$ e $12+6\sqrt{2}$. O primeiro é exactamente o dobro do segundo.

de onde vem cada opção errada

$4$ — é o quociente das áreas ($72÷18$). Numa semelhança de razão $r$, as áreas multiplicam por $r^2$, não por $r$.

$\frac{1}{2}$ — é a razão certa mas invertida: o perímetro de $[EDC]$ a dividir pelo de $[CBA]$.

$\frac{1}{4}$ — junta os dois enganos: o quociente das áreas, invertido.

onde se perdem os 9 pontos

Escolha múltipla: ou certo, ou zero. Lê o quociente pela ordem em que está escrito — o triângulo maior está em cima — e não troques comprimentos por áreas.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Em figuras semelhantes de razão $r$: comprimentos (lados, perímetros, alturas) multiplicam por $r$; áreas por $r^2$; volumes por $r^3$.