Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 12, resolvido

O ponto de partida. Duas retas paralelas a cortar os lados de um triângulo são o sinal de triângulos semelhantes. O segmento $[DE]$ é paralelo a $[AB]$, e por isso o triângulo pequeno $[DEC]$ é uma redução do triângulo grande $[ABC]$: têm a mesma forma, e os lados de um obtêm-se dos lados do outro multiplicando todos pelo mesmo número, a razão de semelhança.

O trabalho do item é encontrar essa razão com os dois lados que conheces ($\overline{CE}$ e $\overline{CB}$) e aplicá-la ao lado que tem o $a$.

1.º — porque é que os dois triângulos são semelhantes

Para dois triângulos serem semelhantes chega que tenham dois ângulos iguais (critério AA). Aqui:

• o ângulo em $C$ é comum aos dois triângulos — é o mesmo ângulo, o vértice de cima;
• os ângulos $C\hat{D}E$ e $C\hat{A}B$ são iguais, porque são ângulos correspondentes entre as paralelas $DE$ e $AB$, cortadas pela reta $AC$.

Logo $[DEC]$ e $[ABC]$ são semelhantes, e a correspondência dos vértices é $D\leftrightarrow A$, $E\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow C$. É esta correspondência que diz que lado se compara com que lado: $[CD]$ corresponde a $[CA]$, e $[CE]$ corresponde a $[CB]$.

2.º — o lado inteiro, não o pedaço

Aqui está a armadilha do item. O lado do triângulo grande que corresponde a $[CE]$ é $[CB]$, o lado inteiro, e não o pedaço $[EB]$ que está desenhado com o $5$:

Então a razão entre o triângulo pequeno e o grande é

3.º — aplicar a mesma razão ao lado com o $a$

Em triângulos semelhantes, todos os pares de lados correspondentes estão na mesma razão. Por isso

Para isolar $\overline{AC}$, multiplica em cruz: $3\times \overline{AC}=8\times a$, e divide por $3$:

Resposta: opção (B).

pensar em «quantas vezes maior»

Se preferires não montar a proporção: o lado $[CB]$ mede $8$ e o lado correspondente $[CE]$ mede $3$, portanto o triângulo grande é $\frac{8}{3}$ vezes o pequeno. Tudo o que há no pequeno aparece no grande multiplicado por $\frac{8}{3}$ — incluindo o $a$. Daí $\overline{AC}=\frac{8}{3}a$. É o mesmo cálculo, dito como razão de ampliação.

o tamanho faz sentido?

O ponto $D$ está dentro do lado $[AC]$, portanto $\overline{AC}$ tem de ser maior do que $\overline{CD}=a$. Das quatro expressões, só $\frac{8}{3}a$ e $\frac{5}{3}a$ são maiores do que $a$ — as opções (A) e (D) dão menos do que $a$ e caem logo. E entre as duas que sobram, repara que no lado $[CB]$ o pedaço de cima ($3$) é menos de metade do total ($8$); no lado $[CA]$ o pedaço de cima ($a$) tem de ser a mesma fração do total, e $a$ é precisamente $\frac{3}{8}$ de $\frac{8}{3}a$.

a origem de cada opção errada

• (A) $\frac{3}{8}a$ — a razão certa, aplicada ao contrário. Quem multiplica $a$ por $\frac{3}{8}$ está a reduzir em vez de ampliar: trata $[CD]$ como se fosse o lado grande. O resultado é menor do que $a$, o que é impossível para um segmento que contém $[CD]$.
• (C) $\frac{5}{3}a$ — é a medida de $[AD]$, não de $[AC]$. Pelo teorema de Tales, as paralelas cortam os dois lados em pedaços proporcionais: $\frac{\overline{AD}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=\frac{5}{3}$, logo $\overline{AD}=\frac{5}{3}a$. Quem usou o $5$ em vez do $8$ calculou só o pedaço de baixo e esqueceu-se de lhe juntar o $a$ de cima. (Confere: $a+\frac{5}{3}a=\frac{8}{3}a$.)
• (D) $\frac{3}{5}a$ — o mesmo engano de (C), com a razão virada ao contrário: comparou $3$ com $5$ (os dois pedaços de $[BC]$) e aplicou essa fração ao $a$ como redução.

As três erradas nascem de duas confusões: o pedaço em vez do lado inteiro (usar o $5$ em vez do $8$), e a razão do pequeno para o grande trocada pela do grande para o pequeno.

onde se perdem pontos

Item de escolha múltipla: os $6$ pontos vêm inteiros ou não vêm, e errar não desconta.

• Comparar $[CE]$ com $[EB]$ como se fossem lados correspondentes. $[EB]$ não é lado de triângulo nenhum dos dois — é só o pedaço que sobra. Em semelhança comparam-se lados inteiros: o lado do grande é $3+5=8$.
• Trocar a ordem da razão. Escreve sempre a proporção com os dois triângulos na mesma ordem dos dois lados (pequeno em cima, grande em baixo, ou o contrário, mas igual dos dois lados do sinal de igual).
• Assinalar duas opções. Pelos critérios gerais, só é classificada a resposta que surgir em primeiro lugar.
• Deixar em branco. Não há penalização por errar; o branco vale sempre zero.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Uma reta paralela a um lado de um triângulo, a cortar os outros dois, cria um triângulo pequeno semelhante ao grande, com o vértice comum. A razão de semelhança faz-se com lados inteiros a partir do vértice comum ($\frac{\overline{CE}}{\overline{CB}}$, nunca $\frac{\overline{CE}}{\overline{EB}}$). Os pedaços ($\frac{\overline{CE}}{\overline{EB}}$) são do teorema de Tales e dão os pedaços do outro lado — úteis, mas para outra pergunta.