Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 1.2, resolvido

Cotação 7 pontosResposta abertaVerificado

Enunciado

Instituto de Avaliação Educativa · prova 92 · 2024 · 2.ª fase

Texto do item 1

O professor de Cidadania e Desenvolvimento propôs a realização de um trabalho sobre possíveis medidas a adotar para combater as alterações climáticas.

A turma, constituída por $28$ alunos, foi dividida em cinco grupos, tendo sido atribuídos temas diferentes a cada um.

Grupo A – Redução do consumo energético

Grupo B – Redução do desperdício alimentar

Grupo C – Utilização de transportes públicos

Grupo D – Utilização de energias renováveis

Grupo E – Aplicação dos 3 Rs : reduzir, reutilizar, reciclar

Na tabela, apresenta-se o número de raparigas e de rapazes em cada um dos grupos.

	Grupo A	Grupo B	Grupo C	Grupo D	Grupo E
Número de raparigas	$2$	$5$	$2$	$2$	$3$
Número de rapazes	$3$	$2$	$4$	$2$	$3$

1.2.

Para participarem num debate sobre energia e alterações climáticas, vão ser sorteados dois alunos, um do Grupo A e outro do Grupo D.

Qual é a probabilidade de serem sorteados dois rapazes, um do Grupo A e outro do Grupo D?

Mostra como chegaste à tua resposta e apresenta o valor pedido na forma de fração irredutível.

Tenta primeiro no papel.

Quem lê a resolução antes de tentar acha que percebeu — e volta a errar no exame.

Mostra só o que se escreve na prova. A resolução explicada fica fechada — abres depois, se quiseres.

Resolução explicada

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

O ponto de partida. Outra vez a regra de Laplace — mas agora não se sorteia um aluno, sorteia-se um par: um aluno do Grupo A e um aluno do Grupo D. Cada caso possível é uma dupla (aluno do A, aluno do D), e um sorteio ao acaso dá a mesma hipótese a todas as duplas. Por isso:

P = \frac{n u ˊ mero de duplas com dois rapazes}{n u ˊ mero de duplas poss ı ˊ veis}

Os critérios aceitam dois caminhos para contar as duplas: escrevê-las todas, numa tabela de dupla entrada, ou calculá-las com uma multiplicação. Vais ver os dois. O primeiro mostra de onde vem a multiplicação do segundo — e é por isso que vem primeiro.

1.º — quem está em cada grupo

Lê na tabela as colunas dos dois grupos sorteados:

Grupo A: $2$ raparigas e $3$ rapazes, ou seja, $5$ alunos;
Grupo D: $2$ raparigas e $2$ rapazes, ou seja, $4$ alunos.

Para os poderes escrever, dá-lhes nomes. Usa $F$ para rapariga e $M$ para rapaz, letras maiúsculas para o Grupo A e minúsculas para o Grupo D — assim nunca confundes de que grupo vem cada um:

Grupo A: $F_{1}$ , $F_{2}$ , $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ ;
Grupo D: $f_{1}$ , $f_{2}$ , $m_{1}$ , $m_{2}$ .

Os índices não são enfeite. Duas raparigas do mesmo grupo são pessoas diferentes, e a dupla $F_{1} m_{1}$ não é a dupla $F_{2} m_{1}$ . Sem índices, escrevias «rapariga do A com rapaz do D» uma vez só, quando são quatro duplas diferentes — e a contagem saía errada.

2.º — apresentar todos os casos possíveis

Uma tabela de dupla entrada: os alunos do Grupo A nas linhas, os do Grupo D nas colunas. Cada célula é uma dupla.

Grupo A / Grupo D	$f_{1}$	$f_{2}$	$m_{1}$	$m_{2}$
$F_{1}$	$F_{1} f_{1}$	$F_{1} f_{2}$	$F_{1} m_{1}$	$F_{1} m_{2}$
$F_{2}$	$F_{2} f_{1}$	$F_{2} f_{2}$	$F_{2} m_{1}$	$F_{2} m_{2}$
$M_{1}$	$M_{1} f_{1}$	$M_{1} f_{2}$	$M_{1} m_{1}$	$M_{1} m_{2}$
$M_{2}$	$M_{2} f_{1}$	$M_{2} f_{2}$	$M_{2} m_{1}$	$M_{2} m_{2}$
$M_{3}$	$M_{3} f_{1}$	$M_{3} f_{2}$	$M_{3} m_{1}$	$M_{3} m_{2}$

Porquê uma tabela e não uma lista solta? Porque a tabela garante, pela própria forma, que cada aluno do A aparece uma vez com cada aluno do D: não falta nenhuma dupla e nenhuma se repete. Numa lista escrita à mão é fácil saltar uma. Esta apresentação vale $3$ pontos — é a etapa mais cara do item.

3.º — escrever o número de casos possíveis

A tabela tem $5$ linhas e $4$ colunas, portanto $5 \times 4 = 20$ células. Há $20$ casos possíveis.

Escreve este número, mesmo que esteja à vista na tabela: os critérios pagam $1$ ponto por ele, à parte.

4.º — escrever o número de casos favoráveis

Os casos favoráveis são as duplas com dois rapazes: um rapaz do A e um rapaz do D. Na tabela, são as células onde as linhas $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ se cruzam com as colunas $m_{1}$ , $m_{2}$ — o canto inferior direito:

M_{1} m_{1}, M_{1} m_{2}, M_{2} m_{1}, M_{2} m_{2}, M_{3} m_{1}, M_{3} m_{2}

Há $6$ casos favoráveis. Também este número vale $1$ ponto por si.

5.º — obter a probabilidade em fração irredutível

P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

O enunciado pede fração irredutível. $\frac{6}{20}$ é o mesmo número, mas não está na forma pedida: dividiste o numerador e o denominador por $2$ , o maior divisor comum de $6$ e $20$ , e $3$ e $10$ já não têm nenhum divisor comum além de $1$ .

Resposta: a probabilidade de serem sorteados dois rapazes é $\frac{3}{10}$ .

contar sem escrever: multiplicar

Volta à tabela: $5$ linhas, $4$ colunas, $5 \times 4$ células. Não é coincidência. Para formar uma dupla escolhes um aluno do A, e tens $5$ maneiras; para cada uma delas, escolhes um aluno do D, e tens $4$ maneiras. Cada linha da tabela é uma escolha do A, e cada linha tem as mesmas $4$ células. Por isso as escolhas multiplicam-se:

casos poss \overset{ı}{ˊ} veis = 5 \times 4 = 20

O mesmo raciocínio, restrito aos rapazes: há $3$ rapazes no A e, para cada um, $2$ rapazes no D:

casos favor \overset{a}{ˊ} veis = 3 \times 2 = 6

P = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

Nos critérios, este caminho dá $3$ pontos ao cálculo dos $20$ , $2$ ao cálculo dos $6$ e $2$ ao valor final — os mesmos $7$ . O que conta como justificação aqui é a conta escrita: « $5 \times 4 = 20$ », e não só « $20$ ».

qual dos dois caminhos usar

A multiplicação é mais rápida, e é a que deves preferir quando os grupos são grandes: com $15$ alunos num grupo e $12$ no outro, a tabela teria $180$ células. A tabela compensa quando não tens a certeza do que estás a contar — vês cada caso, e a dúvida desaparece.

Há uma subtileza nos critérios do 1.º processo: se apresentares só os casos favoráveis em vez de todos os possíveis, a etapa dos $3$ pontos ainda fica cumprida desde que escrevas a seguir o número de casos possíveis ( $20$ ); se não o escreveres, essa etapa vale só $1$ ponto. Ou seja: o $20$ escrito salva-te. Escreve-o sempre.

conferir por outro lado

A probabilidade de sair um rapaz no Grupo A é $\frac{3}{5}$ ; no Grupo D é $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Os dois sorteios são feitos à parte e não interferem um com o outro, e $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$ — o mesmo valor. Em percentagem, $30%$ : um pouco menos de um terço, o que faz sentido, porque no A os rapazes são mais de metade e no D são exatamente metade.

Outra conferência, pela tabela inteira: há $4$ duplas $F f$ , $4$ duplas $F m$ , $6$ duplas $M f$ e $6$ duplas $M m$ . $4 + 4 + 6 + 6 = 20$ , e todas as células estão contadas.

onde se perdem pontos

Contar tipos em vez de pessoas. Escrever só « $M M$ , $M F$ , $F M$ , $F F$ » dá $4$ casos e $P = \frac{1}{4}$ — falso. Esses quatro tipos não são igualmente prováveis (há $6$ duplas de dois rapazes e só $4$ de duas raparigas), e a regra de Laplace só vale com casos igualmente prováveis. É por isso que os alunos levam nomes com índices.
Juntar os dois grupos. Pôr os $9$ alunos de A e D num só saco e tirar dois é outro sorteio — podiam sair dois do Grupo A. O enunciado diz um de cada.
Somar em vez de multiplicar. $5 + 4 = 9$ e $3 + 2 = 5$ dariam $\frac{5}{9}$ . Cada escolha do A combina com todas as do D: isso é um produto, não uma soma.
Escrever os casos e esquecer os números. No 1.º processo, «número de casos possíveis ( $20$ )» e «número de casos favoráveis ( $6$ )» são etapas de $1$ ponto cada. A tabela não os escreve por ti.
Parar em $\frac{6}{20}$ . É uma forma diferente da pedida, e isso está na lista de situações que descontam $1$ ponto. Depois de todo o trabalho, perder um ponto por não dividir por $2$ é o pior negócio do item.
Dar só o resultado. O enunciado diz «Mostra como chegaste à tua resposta», e os critérios gerais classificam com zero pontos a apresentação apenas do resultado final.
Deixar o item em branco por ser dos facultativos. O 1.2. é um dos seis itens de que só contam os quatro com melhor pontuação. Isso não te dispensa de o fazer: cada um que respondes é margem para os outros.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando se sorteia um de cada grupo, os casos são pares e contam-se multiplicando os tamanhos dos grupos; os favoráveis contam-se multiplicando os tamanhos das partes de cada grupo que servem. Se tiveres dúvidas, faz a tabela de dupla entrada: o número de células é o produto. E dá um nome a cada pessoa — só assim os casos são igualmente prováveis.

Primeiro, a resposta de exame.

A resolução explicada abre-se depois, à parte, se quiseres perceber o porquê.

Como te correu?

Há mais um exercício resolvido de Probabilidades

Ler um resolve hoje; fazer o tópico inteiro é o que muda a nota.

✓Treinar o tópico inteiro, um a um
✓O que erras volta sozinho, no dia em que ias esquecer
✓Fazer o exame completo a tempo, como no dia
✓Ver o que já sabes, tópico a tópico

Treinar ProbabilidadesGrátis. Os enunciados e as resoluções ficam sempre abertos.

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