Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 2, resolvido

O ponto de partida. A pergunta fala de dízimas, mas o que ela pede é que saibas classificar números reais. A ideia que governa o item é esta:

• um número racional (um quociente de dois inteiros) é sempre uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica;
• um número irracional é uma dízima infinita não periódica.

Portanto «pode ser representado por uma dízima infinita não periódica» é outra maneira de dizer «é irracional». Procuras, entre as quatro opções, a única que não é quociente de dois inteiros.

1.º — porque é que uma fração de inteiros é sempre finita ou periódica

Vale a pena perceber isto uma vez, para nunca mais dependeres do ecrã da calculadora. Quando divides $17$ por $31$ pelo algoritmo da divisão, cada novo algarismo do quociente vem de um resto, e os restos possíveis são só $0,1,2,\dots ,30$ — menos do que $31$ valores. Se algum resto der $0$, a divisão acaba (dízima finita). Se nunca der $0$, ao fim de, no máximo, $30$ passos tem de aparecer um resto repetido — e a partir daí a divisão repete exatamente os mesmos passos, e os mesmos algarismos. É o período.

Conclusão: qualquer fração de inteiros dá uma dízima finita ou periódica. Nunca uma infinita não periódica.

2.º — as duas frações: (B) e (D)

• $\frac{9}{11}$: é um quociente de inteiros, logo é racional. De facto, $\frac{9}{11}=0,818181\cdots =0,(81)$, com período $81$.
• $-\frac{17}{31}$: também é um quociente de inteiros, logo é racional e a dízima é periódica. Aqui o período é comprido — tem $15$ algarismos: $-0,(548387096774193)$. Na calculadora vês qualquer coisa como $-0,5483870968$ e não vês repetição nenhuma, porque o ecrã acaba antes de o período recomeçar. A calculadora não decide se uma dízima é periódica; a forma do número decide.

3.º — a dízima (C)

$0,(75)$ é a notação de uma dízima infinita periódica: os parênteses dizem que o bloco $75$ se repete para sempre, $0,757575\dots$. É infinita, sim — mas é periódica, e o item pede não periódica. (Como qualquer dízima periódica, é um racional: $0,(75)=\frac{75}{99}=\frac{25}{33}$.)

4.º — o número (A)

$\sqrt{2}$ é irracional: não há nenhuma fração cujo quadrado dê $2$, porque $2$ não é o quadrado de um inteiro nem de uma fração. E $-2\sqrt{2}$ continua a ser irracional. Porquê? Se $-2\sqrt{2}$ fosse uma fração $q$, então $\sqrt{2}=-\frac{q}{2}$ também seria uma fração — e não é. Multiplicar um irracional por um racional diferente de zero dá sempre um irracional.

Outra maneira de o ver: $-2\sqrt{2}=-\sqrt{4\times 2}=-\sqrt{8}$, e $8$ não é um quadrado perfeito, logo $\sqrt{8}$ é irracional.

Na calculadora, $-2\sqrt{2}\approx -2,828427125\dots$ e os algarismos continuam sem nunca entrar num ciclo.

Resposta: opção (A).

de onde vem cada opção errada

• (B) $-\frac{17}{31}$ — é a armadilha mais bem montada. O período tem $15$ algarismos e o ecrã da calculadora não chega a mostrar a repetição, por isso a dízima parece não periódica. Quem decide pelo ecrã escolhe (B). Quem olha para a forma — uma fração de dois inteiros — sabe que é periódica sem fazer a conta.
• (C) $0,(75)$ — apanha quem confunde infinita com não periódica. Uma dízima pode ser infinita e periódica; é aliás o caso de muitas frações. O parêntese da notação já te diz que é periódica.
• (D) $\frac{9}{11}$ — o mesmo tipo de armadilha que (B), mas mais fraca: o período $81$ vê-se logo no ecrã ($0,8181818182$). Apanha quem vê «$9$» e «$11$» e lhe parece um número «estranho», sem reparar que é uma fração.

onde se perdem os 6 pontos

Escolha múltipla, classificação dicotómica: ou assinalas (A) e tens os $6$ pontos, ou tens zero.

• Decidir pelo ecrã da calculadora. O ecrã mostra uns $10$ algarismos; um período maior do que isso fica invisível. A classificação faz-se pela forma do número: fração de inteiros → racional → finita ou periódica.
• Achar que «infinita» chega. O item pede duas propriedades: infinita e não periódica. $0,(75)$ só tem a primeira.
• Achar que o sinal ou o fator $2$ mudam a natureza do número. $-2\sqrt{2}$ é tão irracional como $\sqrt{2}$; e $-\frac{17}{31}$ é tão racional como $\frac{17}{31}$.
• Assinalar mais do que uma opção. Só conta a que surgir em primeiro lugar.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

«Dízima infinita não periódica» = irracional. «Dízima finita» ou «infinita periódica» = racional. Para decidir, olha para a forma, não para os algarismos: uma fração de inteiros (ou uma dízima com período assinalado) é racional; a raiz quadrada de um natural que não é quadrado perfeito, e $\pi$, são irracionais — e continuam a sê-lo multiplicados por um racional diferente de zero.