Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 11, resolvido

O ponto de partida são os lugares geométricos. Cada condição da câmara municipal descreve um conjunto de pontos do plano, e cada um desses conjuntos é uma figura que conheces:

• Estar a $500$ metros do jardim ($J$): o conjunto dos pontos do plano que estão a uma distância fixa de um ponto é a circunferência de centro nesse ponto e raio igual a essa distância. Aqui, a circunferência de centro $J$ e raio $500$ m.
• Estar à mesma distância da câmara ($C$) e do hospital ($H$): o conjunto dos pontos do plano equidistantes dos extremos de um segmento é a mediatriz desse segmento — a reta perpendicular a $[CH]$ que passa pelo seu ponto médio.

Quem desenhou o mapa acertou nas duas figuras: traçou a circunferência e a mediatriz. O erro está na marcação dos pontos, e é isso que tens de explicar.

1.º — onde ficam os locais certos

Um local que cumpra as duas condições ao mesmo tempo tem de estar nas duas figuras ao mesmo tempo: na circunferência e na mediatriz. Os locais certos são, por isso, os pontos de intersecção da circunferência com a mediatriz. Na Figura 5, a reta atravessa a circunferência e corta-a em dois pontos — e são dois os locais que a câmara procura.

Um ponto bem assinalado tinha de estar exatamente num desses cruzamentos. Para mostrar que um ponto está mal assinalado, chega mostrar que falha uma das condições: isto é, que não está numa das duas figuras.

2.º — o ponto P1: na mediatriz, mas fora da circunferência

Olha para $P_1$ na figura. Está sobre a reta, portanto está à mesma distância de $C$ e de $H$ — essa condição cumpre. Mas está dentro do círculo, entre $J$ e a circunferência, e não sobre a circunferência.

Um ponto no interior do círculo está mais perto do centro do que o raio. Medindo com a escala do mapa, $P_1$ fica a pouco mais de $300$ m de $J$, bem menos do que os $500$ m pedidos. Logo, $P_1$ não pertence à circunferência de centro $J$ e raio $500$ m, e não cumpre a condição de estar a $500$ metros do jardim municipal.

3.º — o ponto P2: na circunferência, mas fora da mediatriz

$P_2$ está o contrário. Está sobre a circunferência, portanto está a $500$ m do jardim — essa condição cumpre. Mas está ao lado do ponto onde a mediatriz corta a circunferência, fora da reta.

Um ponto fora da mediatriz de $[CH]$ está mais perto de um dos extremos do que do outro: as distâncias a $C$ e a $H$ são diferentes. No mapa, $P_2$ fica do lado de $C$, mais perto da câmara do que do hospital. Logo, $P_2$ não pertence à mediatriz do segmento $[CH]$, e não cumpre a condição de estar à mesma distância da câmara municipal e do hospital.

Repara na simetria do item: cada ponto cumpre uma condição e falha a outra. Foi construído para te obrigar a pensar nas duas figuras separadamente.

como o item é corrigido

O item é corrigido por níveis de desempenho, a partir de dois tópicos — uma razão para $P_1$ e outra para $P_2$:

• Nível 2 — $7$ pontos: apresentas os dois tópicos, com uma linguagem que revela conhecimento dos conceitos (circunferência, mediatriz, distância).
• Nível 1 — $4$ pontos: apresentas só um dos tópicos.
• Abaixo disso, zero.

Na prática: uma razão certa para um só ponto vale pouco mais de metade da cotação. Os critérios dão as razões como exemplo («por exemplo»); outra razão também é aceite, desde que seja verdadeira e explique porque é que a condição falha.

onde se perdem pontos

• Dizer só que o ponto «não está no sítio certo» ou «não está na intersecção». É verdade, mas não é uma razão — o enunciado pede que justifiques. Diz qual das condições falha e porquê (o ponto não está na circunferência; o ponto não está na mediatriz).
• Trocar «circunferência» por «círculo». O círculo inclui o interior, e $P_1$ está no círculo. Escrever «$P_1$ não pertence ao círculo de centro $J$» é falso. A circunferência é só a linha — os pontos a exatamente $500$ m. A linguagem que «revela conhecimento de conceitos» é precisamente esta distinção.
• Trocar as razões. Dizer que $P_1$ não está na mediatriz é falso: está. Uma razão falsa não enquadra o tópico.
• Explicar só um dos pontos. Cai no nível 1, com $4$ dos $7$ pontos.
• Descrever a mediatriz como «a reta que passa por $C$ e $H$». A mediatriz é perpendicular a $[CH]$ e passa pelo ponto médio — a reta que passa por $C$ e $H$ é outra coisa.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Duas traduções a ter na ponta da língua: «a uma distância $d$ de um ponto» é a circunferência de centro nesse ponto e raio $d$; «à mesma distância de dois pontos» é a mediatriz do segmento que os une. Quando um ponto tem de cumprir várias condições, está na intersecção das figuras correspondentes. E para mostrar que um ponto não serve, identifica uma condição que ele falha e diz qual é a figura a que ele não pertence.