Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 3, resolvido

O ponto de partida. Para saberes em que intervalo está $4\pi$, precisas de um valor de $4\pi$ suficientemente preciso para o separar dos extremos dos intervalos. E as opções são exigentes: quatro intervalos seguidos, cada um com amplitude $0,01$, todos abertos. Isso diz-te logo de quanta precisão precisas — pelo menos a casa das milésimas, porque é ela que diz em que centésima o número cai.

1.º — obter um valor de $4\pi$ com precisão suficiente

Tens duas fontes, e ambas servem:

• a calculadora: a tecla $\pi$ dá $4\pi \approx 12,566370614\dots$;
• o formulário da prova, que dá o valor aproximado $\pi \approx 3,14159$: $4\times 3,14159=12,56636$.

Os dois valores coincidem até às milésimas: $4\pi =12,566\dots$

2.º — comparar com os extremos

Então $4\pi$ pertence a $\left]12,56;12,57\right[$. O facto de os extremos serem abertos não te preocupa aqui, porque $4\pi$ não está em cima de nenhum deles — está bem lá dentro, a meio do intervalo.

Resposta: opção (C).

um enquadramento, para perceber porque é que $3,14$ não chega

Se usares $\pi \approx 3,14$, obténs $4\times 3,14=12,56$ — que é exatamente o extremo comum de (B) e de (C), e não pertence a nenhum dos dois (ambos são abertos em $12,56$). Não consegues decidir. O problema é que $3,14$ é uma aproximação por defeito: $\pi$ é um pouco maior. Escrito como enquadramento:

Isto deixa $4\pi$ algures entre (C) e (D) — ainda não decide. Ao multiplicar por $4$, o erro da aproximação também se multiplica por $4$: uma incerteza de $0,01$ em $\pi$ passa a $0,04$ em $4\pi$, e os intervalos só têm $0,01$ de largura. Com mais uma casa decimal:

e agora o enquadramento cabe inteiro dentro de $\left]12,56;12,57\right[$. É este o raciocínio que te deixa confiar na resposta sem depender de quantos algarismos usaste.

conferir de trás para a frente

Divide os extremos do intervalo (C) por $4$: $12,56÷4=3,14$ e $12,57÷4=3,1425$. Pergunta equivalente: $\pi$ está entre $3,14$ e $3,1425$? Sim — $\pi =3,14159\dots$ Confirmado.

de onde vem cada opção errada

• (B) $\left]12,55;12,56\right[$ — apanha quem usa $\pi \approx 3,14$, obtém $12,56$ e escolhe o intervalo que «acaba em $12,56$», sem reparar que o parêntese está aberto e que o valor verdadeiro é maior do que $12,56$ (porque $3,14$ é menor do que $\pi$). Erra duas vezes: no extremo e no sentido da aproximação.
• (D) $\left]12,57;12,58\right[$ — apanha quem usa a aproximação $\pi \approx \frac{22}{7}$: $4\times \frac{22}{7}=\frac{88}{7}\approx 12,571$, que cai em (D). A aproximação $\frac{22}{7}=3,1428\dots$ é por excesso e não é precisa o suficiente para esta escala.
• (A) $\left]12,54;12,55\right[$ — corresponderia a $\pi$ entre $3,135$ e $3,1375$, e nenhuma aproximação habitual de $\pi$ dá um valor aí. É o intervalo que completa a escada de quatro e apanha quem escolhe pela vizinhança de «$12,5$ e qualquer coisa», sem fazer a conta.

onde se perdem os 6 pontos

Escolha múltipla, classificação dicotómica: a opção (C) vale os $6$ pontos, qualquer outra vale zero.

• Usar $\pi \approx 3,14$. Dá exatamente um extremo, e um extremo aberto não pertence ao intervalo. Usa a tecla $\pi$ da calculadora ou o valor do formulário, $3,14159$.
• Usar $\frac{22}{7}$. É uma aproximação razoável para estimativas, mas erra $\pi$ em mais de uma milésima, e aqui as milésimas decidem.
• Arredondar antes de comparar. $12,566\dots$ arredondado às centésimas dá $12,57$, outra vez um extremo aberto. Compara o valor com mais casas, não o arredondado.
• Assinalar mais do que uma opção. Só conta a que surgir em primeiro lugar.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Para localizar um irracional num intervalo, usa uma aproximação com pelo menos uma casa decimal a mais do que os extremos dos intervalos têm — e lembra-te de que, se o número aparece multiplicado (como $4\pi$), o erro da aproximação também se multiplica. Na dúvida, enquadra: $a<\pi <b$ dá $4a<4\pi <4b$, e só decides quando o enquadramento cabe todo num intervalo.