Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 10, resolvido

O ponto de partida é saber como é a expressão de uma função de proporcionalidade inversa: $g(x)=\frac{k}{x}$, com $k\ne 0$. A constante $k$ é a constante de proporcionalidade inversa, e tem uma propriedade que resolve o item: para qualquer ponto do gráfico, o produto das coordenadas é sempre $k$, ou seja, $x\times g(x)=k$.

Portanto, para descobrir $g$ precisas de um ponto do gráfico de $g$ com as duas coordenadas conhecidas. O único ponto do gráfico de $g$ referido é $C$, e dele só se sabe a abcissa, $2$. A ordenada tem de vir de outro lado: $C$ também pertence ao gráfico de $f$, e $f$ conhece-se a partir de $A$ e de $B$. O caminho é este: $A$ e $B$ dão $f$; $f$ dá a ordenada de $C$; $C$ dá $g$.

1.º — a expressão da função afim f

Uma função afim escreve-se $f(x)=ax+b$, onde $a$ é o declive e $b$ a ordenada na origem.

• A ordenada na origem é a ordenada do ponto em que o gráfico corta o eixo $Oy$. Esse ponto é $A(0,7)$, logo $b=7$.
• O declive é a variação das ordenadas a dividir pela variação das abcissas, entre dois pontos da reta. Com $A(0,7)$ e $B(4,9)$:

Logo,

Confere com o ponto $B$: $f(4)=\frac{1}{2}\times 4+7=2+7=9$. Está certo.

2.º — a ordenada do ponto C

$C$ pertence ao gráfico de $f$ e tem abcissa $2$, por isso a ordenada de $C$ é $f(2)$:

Então $C=(2,8)$.

Repara que, no gráfico, $C$ fica entre $A$ (ordenada $7$) e $B$ (ordenada $9$), e com abcissa a meio caminho entre $0$ e $4$. A ordenada $8$, a meio caminho entre $7$ e $9$, faz sentido: numa reta, o ponto médio das abcissas corresponde ao ponto médio das ordenadas.

3.º — a constante de proporcionalidade inversa

$C$ também pertence ao gráfico de $g$. Pela propriedade do ponto de partida, o produto das suas coordenadas é a constante:

E a expressão de $g$ é

Confere: $g(2)=\frac{16}{2}=8$, a ordenada de $C$. A opção certa é a (C).

de onde vem cada opção errada

(A) $g(x)=16x$ — tem a constante certa, $16$, mas é a expressão de uma função de proporcionalidade direta ($y=kx$), não inversa. O gráfico de $y=16x$ é uma reta que passa pela origem, não um ramo de hipérbole como o da Figura 4. Quem chega aqui fez as contas bem e trocou o tipo de função.

(D) $g(x)=\frac{36}{x}$ — usa o ponto errado. $36=4\times 9$ é o produto das coordenadas de $B$. Mas $B$ pertence ao gráfico de $f$, não ao de $g$ — na figura, a curva de $g$ passa muito abaixo de $B$. Com esta expressão, $g(2)=18$, e o gráfico de $g$ não passaria em $C$.

(B) $g(x)=36x$ — junta os dois enganos: o ponto errado ($B$) e o tipo de função errado (proporcionalidade direta).

onde se perdem os 6 pontos

Num item de escolha múltipla não há cotação parcial. As opções foram construídas cruzando duas decisões: que ponto usar e que forma tem a expressão. Errar qualquer uma das duas leva a uma opção errada. A armadilha mais forte é o ponto $B$: tem as duas coordenadas à vista no gráfico, enquanto $C$ obriga a trabalhar para lhe descobrir a ordenada. O facto de um ponto ter as coordenadas dadas não o põe no gráfico de $g$.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Para a expressão de uma função de proporcionalidade inversa, precisas de um ponto do seu gráfico com as duas coordenadas: o produto delas é a constante $k$, e $g(x)=\frac{k}{x}$. Se o enunciado só te dá uma das coordenadas desse ponto, procura outra função (muitas vezes uma reta) que também passe por ele — e calcula a coordenada que falta a partir dessa função. Antes de usar um ponto, pergunta-te sempre: este ponto pertence ao gráfico de que função?