Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 4, resolvido

O ponto de partida. É um problema de sequências: há uma regra que passa de um termo para o seguinte, e precisas de chegar a um termo muito afastado (com $644$ círculos) sem desenhar os outros todos. A ferramenta é o termo geral — uma expressão que dá o número de círculos (ou de quadrados) do termo de ordem $n$ diretamente a partir de $n$.

O caminho tem três partes, e a ligação entre elas é a ordem do termo:

• com o número de círculos, descobres qual é o termo (a ordem $n$);
• com a ordem, calculas quantos quadrados esse termo tem;
• e respondes com uma frase.

Os critérios dão dois exemplos de estratégia completa: um pelos termos gerais e outro pela estrutura da figura. Vais ver os dois.

1.º — organizar os primeiros termos

Conta na Figura 1 e confirma com os dados do enunciado (o 1.º termo tem $12$ círculos e $5$ quadrados; em cada passo juntam-se $4$ círculos e $2$ quadrados):

Pôr os números numa tabela é o que te deixa ver a regra: os círculos sobem sempre $4$, os quadrados sobem sempre $2$.

2.º — o termo geral dos círculos

Para chegares ao termo de ordem $n$, partes dos $12$ círculos do 1.º termo e juntas $4$ círculos $n-1$ vezes (do 1.º ao 2.º termo uma vez, do 1.º ao 3.º duas vezes, e assim por diante). Então:

$4n+8$, com $n\ge 1$, é um termo geral da sequência do número de círculos. Confirma com a tabela: $n=1$ dá $12$, $n=2$ dá $16$, $n=3$ dá $20$. Bate.

Repara porque é que não é $4n$: o «$4$» diz quanto se acrescenta de cada vez, mas o 1.º termo não tem $4$ círculos, tem $12$. O «$+8$» é a correção: $12-4=8$.

3.º — descobrir a ordem do termo com $644$ círculos

Igualas o termo geral a $644$ e resolves a equação:

O termo com $644$ círculos é o 159.º termo. Repara que a divisão deu um número natural — é isso que confirma que esse termo existe (o enunciado garante-o, mas se tivesses errado alguma conta, uma ordem não inteira seria o sinal de alarme).

Atenção: $159$ ainda não é a resposta. É a ordem do termo. A pergunta é sobre quadrados.

4.º — o termo geral dos quadrados

O mesmo raciocínio: $5$ quadrados no 1.º termo, mais $2$ quadrados $n-1$ vezes:

$2n+3$, com $n\ge 1$, é um termo geral da sequência do número de quadrados. Confirma: $n=1$ dá $5$, $n=2$ dá $7$, $n=3$ dá $9$.

5.º — calcular os quadrados do 159.º termo

O termo da sequência com $644$ círculos tem $321$ quadrados.

Escreve esta frase. O descritor do nível máximo exige que «responda $321$»: uma resolução completa que acaba numa conta solta, sem dizer o que o número é, arrisca descer de nível.

pela estrutura da figura

Olha para a Figura 1 de outra maneira. Os círculos estão sempre arrumados em quatro colunas com o mesmo número de círculos cada uma ($3$ no 1.º termo, $4$ no 2.º, $5$ no 3.º). Então, num termo com $644$ círculos:

Os quadrados estão arrumados em três colunas: as duas dos extremos e a do meio. Numa coluna dos extremos, cada quadrado fica entre dois círculos consecutivos da mesma coluna, por isso há sempre um quadrado a menos do que círculos ($3$ círculos → $2$ quadrados; $4\to 3$; $5\to 4$):

A coluna do meio tem sempre $1$ quadrado, em baixo, em todos os termos. Total:

O mesmo resultado, sem precisar da ordem do termo.

contando os acrescentos

Um terceiro caminho, tão válido como os outros: do 1.º termo até ao termo com $644$ círculos juntaram-se $644-12=632$ círculos, a $4$ de cada vez, ou seja, $\frac{632}{4}=158$ acrescentos. Cada acrescento junta $2$ quadrados: $5+2\times 158=5+316=321$. (E $158$ acrescentos depois do 1.º termo é o 159.º termo — a mesma ordem.)

qual dos caminhos usar

O dos termos gerais é o mais seguro e o que funciona em qualquer sequência deste tipo, mesmo quando a figura não tem uma arrumação clara — é o que deves dominar. O da estrutura é mais rápido, mas obriga a ver bem a figura e a justificar por palavras cada contagem (as quatro colunas, o «menos um», o quadrado do meio); sem essas frases, a estratégia não fica completa. O dos acrescentos é o mais curto quando o enunciado já diz quanto se junta em cada passo, como aqui.

conferir com a figura

Testa as fórmulas num termo que consegues contar: no 3.º termo, $4\times 3+8=20$ círculos (quatro colunas de $5$) e $2\times 3+3=9$ quadrados ($4+1+4$). E no termo pedido, as duas contagens são coerentes: $161$ círculos por coluna dá $161-2=159$ — a ordem do termo —, porque cada coluna tem sempre $n+2$ círculos.

como este item é corrigido

O item é classificado por níveis de desempenho, e cada nível vale uma pontuação inteira — os níveis não se somam:

• Nível 4 — $7$ pontos: estratégia adequada e completa, e resposta $321$.
• Nível 3 — $6$ pontos: estratégia adequada e completa, mas sem resposta ou com resposta errada (por exemplo, um erro de conta no fim).
• Nível 2 — $4$ pontos: estratégia adequada mas incompleta, com resposta $321$.
• Nível 1 — $3$ pontos: estratégia adequada mas incompleta, sem resposta ou com resposta errada.

A consequência prática: o que pesa é a estratégia completa — passar de incompleta a completa vale $2$ ou $3$ pontos, enquanto a resposta certa no fim vale $1$. Mostra cada parte do caminho. Sobre o nível atribuído ainda podem cair as desvalorizações gerais (erros de cálculo, simbologia incorreta), $1$ ponto por uma ou duas ocorrências.

onde se perdem pontos

• Responder $159$. É a ordem do termo, não o número de quadrados. É o engano mais comum neste tipo de item: resolver a equação dá uma sensação de chegada, e o aluno pára.
• Usar $4n$ como termo geral dos círculos. Dá $4n=644$, $n=161$, e daí $2\times 161+3=325$ quadrados. O termo geral tem de dar $12$ quando $n=1$; testa-o sempre no 1.º termo.
• Responder $160$ pela estrutura. É o número de quadrados de uma coluna dos extremos; faltam a outra e o quadrado do meio.
• Escrever as contas sem dizer o que cada número é. Nos dois exemplos dos critérios, cada número vem acompanhado do que significa («ordem do termo com $644$ círculos», «número de círculos de cada coluna»). Uma conta solta como $\frac{644}{4}=161$, sem explicação, não mostra uma estratégia — e uma estratégia que não se vê não é completa.
• Dar só o resultado. «Mostra como chegaste à tua resposta»: o resultado sozinho vale zero, mesmo que seja $321$.
• Deixar o item em branco por ser facultativo. O 4. é um dos seis itens de que contam só os quatro melhores; respondê-lo é margem para os outros.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Numa sequência em que se junta sempre a mesma quantidade $d$, partindo de um 1.º termo $a$, o termo geral é $a+d(n-1)=dn+(a-d)$. Testa-o no 1.º termo antes de o usar. E quando a pergunta liga duas sequências (círculos e quadrados), a ponte entre elas é a ordem do termo: descobre-a com uma, usa-a na outra — e só pára quando tiveres respondido ao que foi perguntado.