Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 14.1, resolvido

O ponto de partida. O ângulo $CAB$ tem o vértice $A$ sobre a circunferência e os dois lados a cortá-la em $B$ e em $C$: é um ângulo inscrito. A propriedade que governa o item é esta:

A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados.

O arco compreendido entre os lados de $C\hat{A}B$ é o arco $BC$ (o de cima, que não contém $A$). Portanto o item reduz-se a uma pergunta: quanto mede o arco $BC$? A figura dá-te um arco ($\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}=120^{\circ }$) e duas informações que ainda não usaste — que $[AC]$ é um diâmetro e que as cordas $[AB]$ e $[CD]$ são paralelas e iguais. Com elas chegas ao arco $BC$.

1.º — o diâmetro escondido

O triângulo $[ABC]$ está inscrito na circunferência e é retângulo em $B$. O ângulo $ABC$ é inscrito e mede $90^{\circ }$, logo o arco que ele compreende mede o dobro, $180^{\circ }$: é uma semicircunferência, e a corda $[AC]$ é um diâmetro. (A figura confirma-o: o centro $O$ está sobre $[AC]$.)

Isto quer dizer que o ponto $A$ e o ponto $C$ dividem a circunferência em duas metades de $180^{\circ }$ cada: a metade da esquerda, que passa por $B$, e a metade da direita, que passa por $D$.

2.º — o arco $AD$

Na metade da direita, conheces o arco $CD$:

3.º — de $AD$ para $BC$: as cordas paralelas

As cordas $[AB]$ e $[CD]$ são paralelas, e numa circunferência duas cordas paralelas compreendem entre si arcos iguais. Os arcos que ficam entre $[AB]$ e $[CD]$ são o de cima, $BC$, e o de baixo, $AD$. Logo:

Esta igualdade é uma etapa pontuada por si ($2$ pontos): escreve-a na folha, com a razão.

4.º — o ângulo inscrito

O ângulo $CAB$ é inscrito e compreende o arco $BC$, portanto mede metade dele:

Resposta: $C\hat{A}B=30^{\circ }$.

pelas cordas iguais

Em vez das cordas paralelas, podes usar o facto de serem iguais: numa circunferência, cordas iguais compreendem arcos iguais. Então

Agora a metade da esquerda, de $A$ a $C$ passando por $B$, dá-te o arco que queres:

e, pelo ângulo inscrito, $C\hat{A}B=\frac{\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$.

(Se não te lembrares de que $[AC]$ é diâmetro, a volta inteira também serve: $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}+\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}+\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}+\stackrel{⌢}{\mathrm{DA}}=360^{\circ }$, com $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{DA}}$, dá $2\times \stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}=360^{\circ }-240^{\circ }=120^{\circ }$, ou seja, $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}=60^{\circ }$.)

pelo ângulo ao centro e pelos ângulos alternos

Um terceiro caminho dispensa o arco $BC$ e trabalha só com triângulos. O ângulo $DOC$ tem o vértice no centro: é um ângulo ao centro, e um ângulo ao centro tem a mesma amplitude do arco que compreende:

O triângulo $[OCD]$ tem $\overline{OC}=\overline{OD}$, porque os dois são raios: é isósceles, e os ângulos da base, em $C$ e em $D$, são iguais. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ }$:

Os pontos $A$, $O$ e $C$ estão alinhados (o diâmetro), por isso o ângulo $OCD$ é o mesmo que o ângulo $ACD$. E as retas $AB$ e $CD$ são paralelas, cortadas pela reta $AC$: os ângulos $ACD$ e $CAB$ são ângulos alternos internos, e são iguais.

qual dos caminhos usar

Os três valem os $7$ pontos. Os dois primeiros são os mais curtos se pensares em arcos — e o item, ao dar-te um arco, está a convidar-te a isso. O terceiro é o mais natural se te sentires mais à vontade com triângulos e paralelas do que com propriedades de arcos. Escolhe um e leva-o até ao fim, com todas as justificações: o que conta é que cada etapa fique escrita.

conferir pela trigonometria

O triângulo $[ABC]$ é retângulo em $B$, com hipotenusa $\overline{AC}=2\times \overline{OC}=20$ e cateto oposto a $C\hat{A}B$ igual a $\overline{BC}=10$. Então $\mathrm{sen}\left(C\hat{A}B\right)=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$, e o ângulo agudo cujo seno é $\frac{1}{2}$ é $30^{\circ }$ (calculadora ou tabela trigonométrica da prova). Bate certo — e é também uma resolução válida por si.

onde se perdem pontos

• Esquecer a divisão por $2$. Responder $60^{\circ }$ é confundir ângulo inscrito com ângulo ao centro. Só o ângulo ao centro mede o mesmo que o arco; o inscrito mede metade. A etapa «$C\hat{A}B=\frac{\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}}{2}$» vale $1$ ponto e o valor final mais $2$.
• Usar o arco errado. O ângulo $CAB$ compreende o arco $BC$ que não contém $A$. Tomar metade de $\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$ e responder $60^{\circ }$ é um engano frequente, porque é o único arco que a figura mostra.
• Afirmar sem justificar. Escrever «$\stackrel{⌢}{\mathrm{AD}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$» sem dizer porquê (cordas paralelas) ou «$A\hat{C}D=C\hat{A}B$» sem dizer porquê (alternos internos) é dar ao corretor uma igualdade que ele não pode confirmar. O item pede todos os cálculos; diz a propriedade que usas em cada passo.
• Responder só $30^{\circ }$. Pelos critérios gerais, só o resultado final vale zero.
• Medir com o transferidor. A figura não está à escala, e um valor lido nela não é um cálculo.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Perante um ângulo com o vértice na circunferência, pergunta logo que arco compreende e procura esse arco. As ferramentas para o encontrar são sempre as mesmas: a volta inteira mede $360^{\circ }$; um diâmetro (o que acontece quando há um triângulo inscrito retângulo) parte-a em duas metades de $180^{\circ }$; cordas iguais têm arcos iguais; cordas paralelas compreendem arcos iguais entre si. Encontrado o arco, inscrito = metade, ao centro = o mesmo.