Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 14.2, resolvido

O ponto de partida. O enunciado diz qual é a ferramenta: o teorema de Pitágoras. Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:

O triângulo $[ABC]$ é retângulo em $B$. Para aplicar o teorema precisas de saber qual dos lados é a hipotenusa e de conhecer dois dos três lados. Conheces $\overline{BC}=10$; falta-te um segundo lado, e é aí que entra a circunferência.

1.º — quem é a hipotenusa

A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. O ângulo reto está em $B$, logo a hipotenusa é $[AC]$, e $[AB]$ e $[BC]$ são os catetos. É $[AB]$, um cateto, que procuras — isto vai decidir a forma da igualdade.

2.º — o comprimento da hipotenusa

A figura não te dá $\overline{AC}$ diretamente; dá-te $\overline{OC}=10$, que é um raio. Mas $[AC]$ é um diâmetro: o triângulo $[ABC]$ está inscrito e é retângulo em $B$, e um ângulo inscrito reto compreende uma semicircunferência, portanto a corda $[AC]$ passa pelo centro $O$ (a figura mostra-o). Um diâmetro mede dois raios:

3.º — escrever o teorema com o cateto isolado

Repara no sinal de menos: quando o que procuras é um cateto, ele é a hipotenusa ao quadrado menos o outro cateto ao quadrado. Esta igualdade, escrita com as letras, vale $4$ dos $7$ pontos — é a etapa que prova que identificaste a hipotenusa. Escreve-a antes de pôr números.

4.º — calcular ${\overline{AB}}^2$

5.º — calcular $\overline{AB}$

${\overline{AB}}^2=300$ tem duas soluções, $\sqrt{300}$ e $-\sqrt{300}$. Como $\overline{AB}$ é um comprimento, é positivo, e fica só a raiz positiva:

(Se quiseres o valor exato simplificado: $\sqrt{300}=\sqrt{100\times 3}=10\sqrt{3}$.)

6.º — arredondar às centésimas

Pela calculadora, $\sqrt{300}=17,3205\dots$ O enunciado pede centésimas, isto é, duas casas decimais. Olhas para a terceira casa, que é $0$, menor do que $5$: a segunda casa fica como está.

o número faz sentido?

Num triângulo retângulo a hipotenusa é sempre o maior lado: $17,32<20$, certo. E o cateto procurado tem de ser maior do que $20-10=10$ (desigualdade triangular): $17,32$ está entre $10$ e $20$. Há ainda uma confirmação que liga as duas alíneas: no item 14.1 o ângulo $CAB$ mede $30^{\circ }$, e $\cos \left(30^{\circ }\right)=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$ dá $\overline{AB}=20\times \cos \left(30^{\circ }\right)\approx 20\times 0,8660\approx 17,32$ — o mesmo valor. Serve para conferir, não para responder: o enunciado pede o teorema de Pitágoras.

onde se perdem pontos

• Somar em vez de subtrair. Escrever ${\overline{AB}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{BC}}^2$ é tratar $[AB]$ como hipotenusa. Dá $\sqrt{500}\approx 22,36$, maior do que o diâmetro — impossível para uma corda. Perde-se a etapa de $4$ pontos, que é mais de metade do item.
• Usar o raio como hipotenusa. Com $\overline{AC}=10$ vinha ${\overline{AB}}^2=100-100=0$: um lado de comprimento zero devia fazer soar o alarme. $\overline{OC}$ é metade de $\overline{AC}$.
• Resolver por trigonometria. O enunciado manda usar o teorema de Pitágoras, e a etapa de $4$ pontos é precisamente a igualdade do teorema. Um caminho que não a escreve não a pode ter.
• Arredondar mal. $17,3$ (uma casa) ou $17,33$ (arredondamento incorreto) ou $17$ é o valor pedido numa forma diferente da solicitada: desvaloriza $1$ ponto. E parar em $\sqrt{300}$ ou $10\sqrt{3}$ é deixar por fazer a etapa do valor pedido.
• Escrever só o resultado. O item pede todos os cálculos; a apresentação apenas do resultado final vale zero.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

No teorema de Pitágoras, a primeira pergunta é sempre onde está o ângulo reto — a hipotenusa é o lado em frente dele, e fica sozinha de um dos lados da igualdade. Procuras a hipotenusa → somas; procuras um cateto → subtrais. E quando há uma circunferência, olha para os raios e diâmetros: um triângulo inscrito com um ângulo reto tem sempre a hipotenusa sobre um diâmetro.