Exame de Matemática 3.º ciclo 2024 · 2.ª fase — item 13, resolvido

O ponto de partida. Tens um triângulo retângulo, um ângulo agudo conhecido ($39^{\circ }$) e um lado conhecido ($100\mathrm{m}$), e queres outro lado. É exatamente para isto que servem as razões trigonométricas: num triângulo retângulo, cada uma liga um ângulo agudo a dois dos lados.

O segredo destes itens está todo na escolha da razão: escolhe a que tem o lado que conheces e o lado que procuras, e mais nenhum. Assim a equação tem uma só incógnita e resolve-se num passo.

1.º — dar nome a cada lado, visto do ângulo de $39^{\circ }$

O ângulo conhecido é $C\hat{A}B$, com vértice em $A$ (a base da torre). O ângulo reto está em $B$. Olhando a partir de $A$:

• $[AC]$ é a hipotenusa — é o lado oposto ao ângulo reto, a linha que vai da base da torre à ponta da pá;
• $[AB]$ é o cateto adjacente ao ângulo de $39^{\circ }$ — é a torre, um dos lados que formam o ângulo; mede $100\mathrm{m}$;
• $[BC]$ é o cateto oposto ao ângulo de $39^{\circ }$ — é a pá, o lado que fica «em frente» do ângulo; é o que se procura.

Conheces o adjacente e procuras o oposto. A razão que tem estes dois e não tem a hipotenusa é a tangente.

2.º — escrever a razão

Escreve esta igualdade na folha, com as letras, antes de pôr números. É ela que mostra ao corretor que escolheste a razão certa e que identificaste bem os catetos — e vale $4$ dos $7$ pontos do item. Substituindo o que sabes:

3.º — isolar $\overline{BC}$

O $\overline{BC}$ está a ser dividido por $100$; para o isolar, multiplicas os dois membros por $100$:

O valor de $\mathrm{tg}\left(39^{\circ }\right)$ sai da calculadora (confirma que está em graus, no modo DEG) ou da tabela trigonométrica da prova: $\mathrm{tg}\left(39^{\circ }\right)\approx 0,8098$.

4.º — arredondar às unidades

O enunciado pede o resultado em metros, arredondado às unidades. Olhas para o algarismo das décimas: é $9$, que é $5$ ou mais, portanto as unidades sobem: $80,98\approx 81$.

A pá mede, aproximadamente, $81$ metros.

pelo cosseno e pelo teorema de Pitágoras

Os critérios aceitam outro caminho, mais comprido, que passa pela hipotenusa. Com o adjacente conhecido, a razão que liga o adjacente à hipotenusa é o cosseno:

Aqui a incógnita está no denominador. Multiplicas os dois membros por $\overline{AC}$ e divides por $\cos \left(39^{\circ }\right)$:

Agora conheces a hipotenusa e um cateto, e o outro cateto sai do teorema de Pitágoras, ${\overline{AC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2$, escrito já com o cateto que procuras isolado:

(Fica só a raiz positiva, porque $\overline{BC}$ é um comprimento.) Os critérios repartem os $7$ pontos assim: $3$ pela razão do cosseno, $1$ por $\overline{AC}$, $1$ pela igualdade de Pitágoras e $2$ pelo valor final.

qual dos dois caminhos usar

Usa a tangente sempre que conheces um cateto e procuras o outro: uma razão, uma conta, um arredondamento, e menos ocasiões de errar. O caminho do cosseno chega ao mesmo, mas tem três contas e dois arredondamentos pelo meio — e cada arredondamento intermédio é uma porta para o resultado escorregar (ver abaixo). Só compensa se o item também te pedir a hipotenusa.

o número faz sentido?

Se o ângulo em $A$ fosse $45^{\circ }$, o triângulo seria isósceles e a pá mediria o mesmo que a torre, $100\mathrm{m}$. Como $39^{\circ }$ é um pouco menos do que $45^{\circ }$, o lado oposto tem de ser um pouco menor do que o adjacente: $81\mathrm{m}$ está certo. E a hipotenusa, $128,68\mathrm{m}$, é o maior dos três lados, como tem de ser.

onde se perdem pontos

• Escolher a razão errada. O erro mais comum é usar o seno: $\mathrm{sen}\left(39^{\circ }\right)=\frac{\overline{BC}}{100}$ daria $\overline{BC}\approx 63\mathrm{m}$, mas $100$ não é a hipotenusa — é um cateto. Outro é virar a tangente ao contrário, $\mathrm{tg}\left(39^{\circ }\right)=\frac{100}{\overline{BC}}$, que dá $\overline{BC}\approx 123\mathrm{m}$, maior do que a torre. Em qualquer dos dois, a etapa de $4$ pontos fica por cumprir.
• Calculadora em radianos. Com a máquina no modo RAD, $\mathrm{tg}(39)$ dá um número negativo, e a pá passa a ter comprimento negativo. Confirma o modo antes de começar.
• Arredondar de mais a meio, no caminho do cosseno. O enunciado exige pelo menos duas casas decimais nos cálculos intermédios, e não é um pormenor: com $\cos \left(39^{\circ }\right)\approx 0,78$ obtinhas $\overline{AC}\approx 128,21$ e, no fim, $\overline{BC}\approx 80,24\approx 80\mathrm{m}$ — resultado errado. Guarda quatro casas no valor do cosseno, ou trabalha com o valor da calculadora até ao fim. (No caminho da tangente o problema não aparece: $100\times 0,81=81$.)
• Arredondar mal ou não arredondar. Responder $80,98\mathrm{m}$, ou $80\mathrm{m}$ por cortar as casas decimais, é «valor pedido com arredondamento incorreto ou forma diferente da solicitada» — desvaloriza $1$ ponto.
• Escrever só o resultado. O item pede todos os cálculos; pelos critérios gerais, a apresentação apenas do resultado final vale zero.
• O que não custa nada: esquecer o «m» (a omissão da unidade não é desvalorizada) e escrever $=$ onde devia estar $\approx$ (também não). Escreve-os bem na mesma — mas não é aí que estão os pontos.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Triângulo retângulo + um ângulo agudo + um lado → razão trigonométrica. Antes de escrever qualquer número, dá nome aos três lados a partir do ângulo conhecido (hipotenusa, oposto, adjacente) e escolhe a razão que liga o lado que tens ao lado que queres: oposto e adjacente → tangente; adjacente e hipotenusa → cosseno; oposto e hipotenusa → seno. Escreve a razão com as letras, substitui, isola, e só no fim arredonda.