Exame de Matemática 3.º ciclo 2026 · Prova-ensaio — item 7, resolvido

A parte azul é o quadrado menos o triângulo verde $[DCE]$. Para as duas áreas falta uma medida: o lado do quadrado. E o lado é um cateto do triângulo rectângulo $[DCE]$ (o ângulo em $C$ é recto, porque é um ângulo do quadrado), de que conheces a hipotenusa e o outro cateto. É trabalho para o Teorema de Pitágoras.

1.º — o lado do quadrado, por Pitágoras

No triângulo $[DCE]$, a hipotenusa é $[DE]$ (oposta ao ângulo recto) e os catetos são $[DC]$ e $[CE]$:

Logo $\overline{DC}=\sqrt{60}$ (a medida é positiva).

2.º — a área do quadrado

A área é o lado ao quadrado: ${\left(\sqrt{60}\right)}^2=60$. Repara que nem precisas de calcular $\sqrt{60}$: a área do quadrado é o ${\overline{DC}}^2$ que já tinhas.

3.º — a área do triângulo verde

É um triângulo rectângulo: metade do produto dos catetos.

4.º — descontar

A opção certa é $60-\sqrt{60}$.

de onde vem cada opção errada

$68-\sqrt{68}$ — trata $[DE]$ como cateto e $[DC]$ como hipotenusa: ${\overline{DC}}^2=8^2+2^2=68$. A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo recto, e aqui o recto está em $C$.

$60-2\sqrt{60}$ — esquece o «a dividir por $2$» na área do triângulo.

$68-2\sqrt{68}$ — junta os dois enganos.

o valor faz sentido?

$\sqrt{60}\approx 7,75$, por isso a área azul é cerca de $60-7,75=52,25$: a maior parte do quadrado, como na figura (que, ainda assim, não está à escala).

onde se perdem os 9 pontos

Escolha múltipla: ou certo, ou zero. Os dois enganos possíveis — identificar mal a hipotenusa e esquecer a metade na área do triângulo — estão os dois nas opções erradas.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Antes de aplicar Pitágoras, marca o ângulo recto e a hipotenusa (o lado em frente a ele). E quando o que precisas é a área de um quadrado, o lado ao quadrado já é a resposta — não há raiz a calcular.