Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 15, resolvido

O ponto de partida. Isto é uma demonstração, e uma demonstração tem uma forma fixa: parte-se da hipótese (o que se admite) e chega-se à tese (o que se quer provar), só com passos justificados. Um exemplo concreto não serve — tem de valer para todos os $a$, $b$, $c$ não nulos.

Escreve a hipótese e a tese antes de começar:

• Hipótese: $a,b,c\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$, $f(x)=a{x}^3+bx+c$, e a recta $r$ intersecta o gráfico de $f$ no ponto de abcissa $0$ e ainda em dois outros pontos distintos.
• Tese: as abcissas desses dois outros pontos são simétricas (isto é, uma é o negativo da outra).

Uma observação que vale a pena escrever logo: a recta $r$ não é vertical. Uma recta vertical, de equação $x=k$, intersecta o gráfico de uma função em um ponto no máximo (a cada objecto corresponde uma só imagem); como $r$ intersecta o gráfico em três pontos, $r$ tem declive e pode escrever-se na forma $y=mx+b^{\prime }$. É isto que autoriza os dois processos que se seguem.

E um valor que ambos os processos usam:

ou seja, o ponto de abcissa zero é $A=(0,c)$.

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pelos declives (a colinearidade)

A ideia: três pontos estão na mesma recta se e só se o declive entre o primeiro e o segundo for igual ao declive entre o primeiro e o terceiro. É a tradução algébrica de "estar alinhado".

Designa por $A$ o ponto do gráfico de $f$ de abcissa nula, e por $B$ e $C$ os outros dois pontos de intersecção, de abcissas $x_B$ e $x_C$, não nulas (são pontos diferentes de $A$) e diferentes entre si (são dois pontos distintos).

1.º — traduzir o alinhamento

Se $A$, $B$ e $C$ pertencem todos à recta $r$, então as rectas $AB$ e $AC$ são a mesma recta e, em particular, têm o mesmo declive. Recordando que o declive da recta que passa por $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ é $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$:

2.º — substituir e simplificar

Como $f(0)=c$ e $x_B-0=x_B$:

O $c$ cancela em ambos os numeradores — e é este cancelamento que faz o exercício funcionar: a ordenada na origem desaparece, sobrando só a parte ímpar da função.

Põe $x$ em evidência em cada numerador:

Agora simplifica-se — e diz-se porquê: $x_B\ne 0$ e $x_C\ne 0$ (são as abcissas de pontos distintos de $A$, cuja abcissa é $0$), logo pode dividir-se numerador e denominador por eles:

3.º — isolar a conclusão

Como, por hipótese, $a\ne 0$, um produto só é nulo se o outro factor for nulo:

4.º — fechar (a etapa que muita gente não escreve)

A equação deu duas hipóteses; falta eliminar uma. Como $B$ e $C$ são pontos distintos do gráfico de uma função, têm abcissas diferentes: $x_B\ne x_C$. Fica apenas

ou seja, as abcissas de $B$ e $C$ são simétricas, como se queria mostrar. $■$

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pela equação da recta (resolver a intersecção)

A ideia: escrever a equação de $r$, igualar a $f$, e resolver. Em vez de deduzir uma relação entre as abcissas, calculam-se as próprias abcissas.

5.º — a equação da recta $r$

Como $r$ não é vertical, tem uma equação da forma $y=mx+k$, em que $m$ é o declive e $k$ a ordenada na origem. Mas $r$ passa no ponto do gráfico de $f$ de abcissa zero, que é $(0,c)$; substituindo, $c=m\times 0+k$, ou seja, $k=c$. Logo

(Repara que se usou a letra $m$ para o declive: não se pode reutilizar $b$, que já está ocupado pelo coeficiente de $f$.)

6.º — as abcissas dos pontos de intersecção

Um ponto pertence ao gráfico de $f$ e à recta $r$ exactamente quando a sua abcissa satisfaz a igualdade das duas ordenadas. Portanto, as abcissas dos pontos de intersecção são as soluções da equação

7.º — resolver

Os $c$ cancelam-se (e é isso que garante que $x=0$ é sempre solução — como tinha de ser, porque a recta foi construída a passar nesse ponto):

Lei do anulamento do produto:

(A divisão por $a$ é legítima porque $a\ne 0$, por hipótese.)

8.º — usar a hipótese "noutros dois pontos distintos"

A solução $x=0$ corresponde ao ponto que já conhecíamos. Os "outros dois pontos distintos" têm de vir da segunda condição, logo a equação $x^2=\frac{m-b}{a}$ tem de ter duas soluções distintas — e uma equação da forma $x^2=k$ só tem duas soluções quando $k>0$. Portanto $\frac{m-b}{a}>0$ e

9.º — concluir

As abcissas dos outros dois pontos de intersecção são $-\sqrt{\frac{m-b}{a}}$ e $\sqrt{\frac{m-b}{a}}$: são números simétricos, como se queria mostrar. $■$

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Qual dos dois processos usar

O 1.º processo é o caminho de quem pensa geometricamente: não precisas de escrever a equação de $r$ nem de introduzir o declive $m$, e a ideia "alinhados $\Rightarrow$ mesmo declive" reaproveita-se em dezenas de exercícios de geometria analítica. É ligeiramente mais rápido, mas exige cuidado com a divisão por $x_B$ e $x_C$.

O 2.º processo é o caminho de quem pensa algebricamente, e dá mais informação: além de provar a simetria, calcula as abcissas e revela a condição de existência $\frac{m-b}{a}>0$ — ou seja, diz-te quando é que tais rectas existem. Se te sentires mais seguro a factorizar do que a manipular quocientes, é este o teu.

Se tiveres tempo, apresenta um e verifica com o outro; na prova, escolhe um e escreve-o até ao fim.

onde se perdem pontos

• Começar num processo e acabar no outro. É a perda mais cara deste item e a mais fácil de cometer: escreves a igualdade dos declives, atrapalhas-te no cancelamento e passas a resolver $f(x)=mx+c$. As duas listas de etapas são grelhas separadas — o classificador escolhe uma e pontua por ela, sem somar o que fizeste na outra. Decide o caminho antes da primeira linha e vai com ele até ao fim.
• Confirmar com um exemplo. Escolher $a=b=c=1$, traçar uma recta e ver que as abcissas saem simétricas não é demonstração nenhuma: o item pede que se mostre para todos os $a$, $b$ e $c$ não nulos. Vale $0$ pontos, por muito bem feito que esteja.
• Parar em $x_B^2=x_C^2$ (ou nas duas raízes) sem fechar. «Concluir o pretendido» é uma etapa própria, $1$ ponto, nos dois processos — e no 1.º processo há ainda os $2$ pontos de escrever $x_B=x_C\vee x_B=-x_C$ e eliminar a primeira hipótese. Um «logo são simétricas» explícito é o que transforma contas em demonstração.
• Usar as hipóteses sem as invocar. $x_B\ne 0$, $x_C\ne 0$ e $a\ne 0$ não são detalhes de estilo: são o que autoriza a simplificação dos quocientes e a divisão por $a$. O enunciado diz «números reais não nulos» de propósito; num item de mostrar, um passo sem a sua condição é um passo que o corrector pode não dar por cumprido.
• No 2.º processo, escrever $f(x)=mx+c$ sem dizer o que é. A frase «as abcissas dos pontos de intersecção são as soluções desta equação» vale $3$ pontos — é a etapa mais cara desse processo. Quem iguala as duas expressões como se fosse evidente faz a conta certa e perde a justificação.
• Não dizer porque é que $\frac{m-b}{a}>0$. Sem essa leitura, $x^2=\frac{m-b}{a}$ podia ter uma solução ou nenhuma, e não haveria «outros dois pontos» para falar. É aqui que a hipótese do enunciado entra, e são $2$ pontos.

A ideia de fundo (para reconhecer o próximo exercício deste tipo)

A função $g(x)=a{x}^3+bx$ é ímpar: $g(-x)=-g(x)$. O gráfico de $f(x)=a{x}^3+bx+c$ é o de $g$ deslocado $c$ unidades na vertical, logo é simétrico relativamente ao ponto $(0,c)$ — que é exactamente o ponto $A$. Uma recta que passa por um centro de simetria corta a figura em pontos que se correspondem dois a dois por essa simetria; e a simetria central em $(0,c)$ troca a abcissa $x$ por $-x$. É por isso que o resultado tinha de ser verdade antes de qualquer conta.