Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 2.1, resolvido

O ponto de partida. A função $g$ é definida por ramos, e $x=0$ é exatamente o ponto onde os dois ramos se encontram. É por isso que o item pede continuidade nesse ponto e não noutro: em qualquer outro ponto do domínio a função coincide, numa vizinhança, com uma única expressão conhecida (e contínua). No ponto de junção, à esquerda manda uma expressão e à direita manda outra — e nada garante que as duas cheguem ao mesmo valor.

A definição que governa o item é esta:

São três objetos a calcular e a comparar: os dois limites laterais e a imagem. Escrever esta igualdade logo no início vale pontos por si — é a primeira etapa dos critérios.

1.º — a imagem $g(0)$

Qual dos ramos se aplica em $x=0$ ? O segundo, porque a condição dele é $0\le x\le \pi$ e o sinal $\le$ inclui o zero. Então:

2.º — o limite à direita

Quando $x\to 0^{+}$ , os valores de $x$ são positivos, logo estão no intervalo $0\le x\le \pi$ : aplica-se o segundo ramo.

Esta expressão é soma e produto de funções contínuas em $\mathbb{R}$ (seno, polinómios), portanto o limite calcula-se por substituição direta — não há indeterminação nenhuma:

3.º — o limite à esquerda

Quando $x\to 0^{-}$ , os valores de $x$ são negativos, logo aplica-se o primeiro ramo:

Substituindo ingenuamente: $\mathrm{sen}0=0$ no numerador e $1-\sqrt{1-0}=1-1=0$ no denominador. Obtém-se a indeterminação $\frac{0}{0}$ .

Escreve isto na prova. Assinalar a indeterminação não é retórica: é o que justifica todas as manipulações que vêm a seguir. Quem passa directamente à multiplicação pelo conjugado sem dizer porquê está a fazer contas sem motivo aparente.

Qual é o obstáculo? A raiz quadrada no denominador. E a técnica que elimina uma raiz numa diferença é multiplicar por aquilo a que se chama o conjugado — a mesma diferença com o sinal do meio trocado. A razão é a identidade

Ao elevar ao quadrado, a raiz desaparece. Aqui $a=1$ e $b=\sqrt{1-x}$ , logo o conjugado de $1-\sqrt{1-x}$ é $1+\sqrt{1-x}$ . Multiplica-se o numerador e o denominador por ele (multiplicar por $\frac{1+\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1-x}}$ é multiplicar por $1$ , portanto não altera a expressão):

Desenvolve-se apenas o denominador — o numerador fica de propósito em fatores, e já vais perceber porquê:

Logo:

4.º — fazer aparecer o limite notável

Agora vê-se a razão de não ter desenvolvido o numerador: ficou lá $\mathrm{sen}x$ em cima e $x$ em baixo, que é o limite notável

Separa-se o quociente num produto de dois fatores:

Esta separação só é legítima porque os dois limites existem e são finitos — se um deles fosse infinito, partir o produto podia gerar uma nova indeterminação. Nos critérios, este passo vale $2$ pontos por si.

• o primeiro fator vale $1$ (limite notável; vale também no limite lateral, porque o limite existe dos dois lados);
• o segundo calcula-se por substituição: $1+\sqrt{1-0}=1+1=2$ .

5.º — comparar e concluir

Como os dois limites laterais existem, são iguais entre si e iguais a $g(0)$ , conclui-se que a função $g$ é contínua em $x=0$ . $■$

A frase final não é decoração: os critérios pagam $1$ ponto pela conclusão explícita. Uma prova que termina em «$=2$» e nada mais perde esse ponto.

onde se perdem pontos

• Não escrever a condição de continuidade logo no início. É uma etapa própria de $2$ pontos e não exige cálculo nenhum — só a igualdade entre os dois limites laterais e $g(0)$. Quem entrega os dois limites e conclui por eles serem iguais provou que existe $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)$, que é coisa diferente de continuidade.
• Deixar cair $g(0)=2$ e a frase final. São $1+1=2$ pontos em duas linhas sem uma única conta. Com a etapa anterior, são $4$ dos $14$ que se ganham apenas por escrever o que já se sabe.
• Levantar a indeterminação pela regra de L'Hôpital. A Nota 1 dos critérios gerais é taxativa: não são aceites processos que apliquem a regra de Cauchy ou a regra de L'Hôpital. Com a conta certa até ao fim, a fatia de $8$ pontos do limite à esquerda vai a zero na mesma.
• Recorrer à calculadora. O enunciado do grupo proíbe-a em 2.1. e 2.2., e a situação 2 dos critérios gerais manda pontuar com zero a etapa em que a instrução não é respeitada e todas as que dela dependam. Uma tabela de valores a convergir para $2$ não é um limite calculado.
• Invocar o limite notável com o fator $\left(1+\sqrt{1-x}\right)$ ainda colado. Separar o quociente no produto $\lim \frac{\mathrm{sen}x}{x}\times \lim \left(1+\sqrt{1-x}\right)$ é etapa autónoma de $2$ pontos. Saltar dela para $=1\times 2$ só é pontuado se o que ficar escrito não deixar dúvida de que foi percorrida — e raramente não deixa.
• Multiplicar pelo conjugado só no denominador. Aí a expressão muda de valor e a igualdade deixa de ser verdadeira. Tem de ser em cima e em baixo, porque é isso que faz do conjugado uma multiplicação por $1$.