Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 11, resolvido

O ponto de partida. Este é um item de calculadora gráfica — mas repara onde está o dinheiro: dos $14$ pontos, $3$ são pela equação e $5$ são só pela representação gráfica. Mais de metade da cotação está no que escreves na folha antes de leres qualquer número no ecrã. Quem resolve mentalmente e escreve só "$33$ dias" fica com $1$ ponto em $14$.

O modelo é $G(x)=0,9e^{-0,6x}(x+0,5{)}^3$, com $x$ em semanas e $G$ em milhões de gafanhotos. Guarda já estas duas unidades: a pergunta final vai pedir dias.

1.º — traduzir a frase do enunciado em símbolos

Chama $x$ ao instante procurado, contado em semanas desde as zero horas do dia em que o enxame foi localizado. Nesse instante, o número de gafanhotos é $G(x)$.

Agora a parte que decide o exercício: "passadas quatro semanas". Quatro semanas depois do instante $x$, o tempo decorrido desde a localização passa a ser $x+4$. Logo o número de gafanhotos nesse momento é

Esta é a primeira etapa pontuada ($2$ pontos) e é aqui que se perde o item logo no início. O $4$ é um acréscimo de tempo, por isso entra dentro da função, no lugar da variável. Escrever $G(x)+4$ (somar $4$ milhões de gafanhotos) ou $4G(x)$ (quadruplicar a população) é traduzir outra história.

A segunda parte: "ficou reduzido a metade do número de gafanhotos existentes nesse instante". A referência da metade é $G(x)$ — o valor no instante $x$ —, e não $G(0)$, o valor inicial. Sublinha no enunciado "nesse instante": é essa palavra que fixa a referência.

2.º — a equação

Juntando as duas traduções:

Escrita com a expressão do modelo, fica:

Repara em como se obteve $(x+4,5{)}^3$: na expressão de $G$, onde está $x$ passa a estar $x+4$, e $(x+4)+0,5=x+4,5$. O mesmo no expoente: $-0,6(x+4)$.

Escreve esta equação na folha. O critério é explícito: se não apresentares equação nenhuma, essa etapa vale $0$ pontos, e as restantes só te são pontuadas se for inequívoco que o que fizeste corresponde a resolver uma equação que traduz correctamente o problema. A equação é o que torna o resto legível para quem corrige.

3.º — o que se escreve na folha sobre o gráfico

Uma equação da forma "expressão $=$ expressão" resolve-se na calculadora como intersecção de dois gráficos. Define:

• $y_1=0,9e^{-0,6(x+4)}(x+4,5{)}^3$ — o lado esquerdo;
• $y_2=0,5\times 0,9e^{-0,6x}(x+0,5{)}^3$ — o lado direito.

Janela sugerida: $x\in [0,10]$ e $y\in [0,10]$. A escolha de $x\ge 0$ não é estética: o modelo tem domínio $x\ge 0$ (não há tempo negativo) e o critério desvaloriza $1$ ponto a quem não respeitar o domínio.

Na folha de prova tens de desenhar, e cada elemento vale pontos:

• um referencial cartesiano, com os eixos identificados e com escalas visíveis (sem referencial perdes $1$ ponto dos $5$);
• os dois gráficos, esboçados apenas para $x\ge 0$, identificados com $y_1$ e $y_2$ (ou com as expressões);
• o ponto de intersecção assinalado — uma bola cheia, com as linhas tracejadas até aos eixos ($2$ pontos só por isto);
• as coordenadas do ponto, arredondadas às centésimas, tal como o enunciado exige.

4.º — ler o ponto

Com a função intersect da calculadora obténs o ponto de intersecção dos dois gráficos:

A coordenada que resolve o problema é a abcissa: $x\approx 4,72$. Ela diz-te que o instante procurado ocorre cerca de $4,72$ semanas depois das zero horas do dia da localização. A ordenada, $3,77$ milhões, é o número de gafanhotos quatro semanas mais tarde — não é pedida, mas escrevê-la não custa nada e completa o par de coordenadas.

Nota que o enunciado te dispensa de justificar a validade do resultado obtido na calculadora (não precisas de provar que a solução é única — o enunciado já garante que existe um único instante). Não gastes tempo nisso.

5.º — a conversão de unidades (a última etapa, e a mais esquecida)

$x$ está em semanas e a pergunta é "quantos dias decorreram". Uma semana tem $7$ dias:

Arredondado às unidades, como o enunciado pede:

⚠️ Faz a multiplicação com o valor completo que a calculadora te dá ($4,7191\dots$), não com o arredondado: $4,7191\times 7\approx 33,03$, que arredonda igualmente para $33$. Aqui o arredondamento intermédio não estragou nada, mas noutro item estraga — habitua-te a só arredondar no fim.

Verificação de bom senso

Duas leituras rápidas confirmam que o valor é plausível.

Primeira: $4,72$ semanas são pouco menos de $5$ semanas, e $5\times 7=35$. Uma resposta de $33$ dias está no sítio certo; se te tivesse saído $5$ ou $200$, havia erro.

Segunda, mais fina: a população atinge o máximo quando $G^{\prime }(x)=0$, ou seja, quando $0,9e^{-0,6x}(x+0,5{)}^2\left[-0,6(x+0,5)+3\right]=0$, o que dá $x=4,5$ semanas. O instante que encontraste, $4,72$, está logo a seguir ao pico — é exactamente aí que a população começa a cair com força suficiente para se reduzir a metade em quatro semanas. O número encaixa na história.

onde se perdem pontos

• Resolver tudo na calculadora e escrever só "$33$ dias". Os critérios gerais têm uma regra que não perdoa: apresentação apenas do resultado final — a resposta é classificada com zero pontos. Neste item os $13$ pontos que não são o valor final estão todos no que se escreve na folha (equação, referencial, gráficos, ponto assinalado). O ecrã da calculadora não é resposta.
• Escrever $G(x)+4$ ou $4G(x)$ em vez de $G(x+4)$. Não custa só os $2$ pontos da primeira etapa: a equação da etapa seguinte ($3$ pontos) passa a traduzir outro problema, e as etapas que dela dependem são pontuadas pelo efeito do erro. Um símbolo mal colocado leva metade do item.
• Desenhar as curvas sem referencial, ou fazê-las passar para $x<0$. As notas $2$ e $3$ do critério são autónomas e cumulativas: sem referencial, $-1$ ponto; sem respeitar o domínio $x\ge 0$, mais $-1$. São $2$ dos $5$ pontos da representação gráfica perdidos em traços que não exigem conta nenhuma.
• Não assinalar o ponto de intersecção. É uma etapa separada da representação dos gráficos e vale $2$ pontos por si. Quem desenha as duas curvas e escreve a resposta, sem marcar o ponto nem tracejar até aos eixos, entrega esses $2$ pontos intactos.
• Dar as coordenadas do ponto com menos casas do que as centésimas. O enunciado fixa a forma dos valores intermédios, e os critérios gerais aplicam-lhe uma penalização própria: um cálculo intermédio com um número de casas decimais diferente do solicitado tira $1$ ponto à soma das pontuações da resposta. Escrever $x\approx 4,7$ desconta mesmo com o $33$ final certo.
• Responder "$4,72$ semanas". Toda a matemática está feita e a última etapa vale $0$: o que ela pontua é o valor pedido, e o pedido é em dias. Repara na assimetria — omitir a palavra "dias" ao lado do $33$ não é penalizado pelos critérios gerais, mas dar o número na unidade errada é a etapa inteira perdida. A unidade que conta é a da pergunta, não a do modelo.