Exame de Matemática A 2025 · 1.ª fase — item 12.1, resolvido

O ponto de partida. A área de um trapézio é

onde $B$ e $b$ são os comprimentos dos dois lados paralelos (as bases) e $h$ é a distância entre eles (a altura). Todo o item é identificar quem é quem na figura — e depois calcular três comprimentos.

A função é $f(x)=3e^x-2e^{-x}$, de domínio $\mathbb{R}$, e o trapézio é $[OCAB]$ com:

• $O$ a origem;
• $B$ no gráfico de $f$ e no eixo $Oy$;
• $A$ no gráfico de $f$ e na recta $y=5$;
• $C$ no eixo $Ox$, com a mesma abcissa de $A$.

1.º — identificar as bases e a altura

O lado $[OB]$ está sobre o eixo $Oy$, ou seja, é vertical. O lado $[CA]$ une um ponto do eixo $Ox$ a um ponto com a mesma abcissa — também é vertical. Dois segmentos verticais são paralelos: são estas as bases.

O lado $[OC]$ está sobre o eixo $Ox$, é perpendicular às duas bases, e por isso mede exactamente a distância entre elas: é a altura.

Escrever esta fórmula com os segmentos certos vale $2$ pontos, antes de qualquer conta. Escreve-a primeiro, mesmo que ainda não saibas nenhum dos três valores.

2.º — $\overline{AC}$, que se lê directamente

$A$ pertence à recta $y=5$, logo tem ordenada $5$. $C$ pertence ao eixo $Ox$, logo tem ordenada $0$. Como têm a mesma abcissa, o segmento $[AC]$ é vertical e o seu comprimento é a diferença das ordenadas:

3.º — $\overline{OB}$, que é o valor de $f$ na origem

$B$ está no eixo $Oy$, portanto tem abcissa $0$; e está no gráfico de $f$, portanto a sua ordenada é $f(0)$. Ou seja, $B=(0,f(0))$ e o comprimento de $[OB]$ é esse mesmo valor:

(Recorda: $e^0=1$ e $e^{-0}=e^0=1$.) Como $f(0)=1>0$, o ponto está acima da origem e o comprimento é mesmo $1$ — não há sinais a corrigir.

4.º — $\overline{OC}$: é aqui que está a equação

$C$ está no eixo $Ox$ e tem a abcissa de $A$. Logo $\overline{OC}$ é a abcissa do ponto $A$, e $A$ é o ponto onde o gráfico de $f$ encontra a recta $y=5$. Para o descobrir resolve-se:

O obstáculo é o expoente negativo: tens $e^x$ e $e^{-x}$ na mesma equação e não podes juntá-los. A técnica que os uniformiza é multiplicar ambos os membros por $e^x$, porque $e^{-x}\times e^x=e^0=1$ faz desaparecer o expoente negativo. E podes fazê-lo sem cuidados especiais: $e^x>0$ para todo o $x$, nunca é zero, logo a equação obtida é equivalente à original.

Passando tudo para o mesmo membro:

5.º — a substituição que revela a equação do 2.º grau

Repara que $e^{2x}={\left(e^x\right)}^2$. Com $t=e^x$ (e portanto $t>0$), a equação fica:

Pela fórmula resolvente, com $a=3$, $b=-5$, $c=-2$:

A rejeição da raiz negativa é obrigatória e tem de ser escrita. Como $t=e^x$ e uma exponencial é sempre positiva, $t=-\frac{1}{3}$ é impossível. Fica

(Aplica-se logaritmo natural a ambos os membros; $\ln \left(e^x\right)=x$ porque $\ln$ e $e^x$ são funções inversas uma da outra.)

Logo $\overline{OC}=\ln 2$. Faz sentido: $\ln 2\approx 0,69>0$, portanto $C$ está à direita da origem, tal como na figura.

6.º — a área, na forma pedida

O enunciado exige o resultado na forma $\ln (a)$, com $a>0$ — ou seja, um único logaritmo, sem nada multiplicado por fora. A propriedade que faz entrar o $3$ para dentro é $n\ln b=\ln \left(b^n\right)$:

Parar em $3\ln 2$ deixa por cumprir a forma pedida, e é a última etapa do item — a que vale $3$ pontos.

Verificação de bom senso

$\ln 8\approx 2,08$. Confere com a geometria: um trapézio de bases $1$ e $5$ e altura $\ln 2\approx 0,69$ tem área $\approx 3\times 0,69\approx 2,08$. E $2,08$ está entre a área do rectângulo pequeno ($1\times 0,69\approx 0,69$) e a do rectângulo grande ($5\times 0,69\approx 3,45$), como tem de estar.

onde se perdem pontos

• Não escrever a fórmula $\frac{\overline{OB}+\overline{AC}}{2}\times \overline{OC}$ antes das contas. É a etapa mais cotada da primeira metade do item ($2$ pontos) e é a única que se ganha sem saber um único dos três comprimentos. Quem salta directo para a equação $f(x)=5$ deixa-a para trás e raramente volta a escrevê-la.
• Tratar $\overline{AC}=5$, $\overline{OB}=f(0)$ e $\overline{OC}=$ abcissa de $A$ como evidências que não se escrevem. O critério pontua cada uma em separado, a $1$ ponto, e mais $1$ pelo cálculo de $f(0)$. São $4$ dos $14$ em quatro linhas de leitura da figura; quem só as pensa fica dependente de o classificador perceber inequivocamente que a etapa foi percorrida — e, se não perceber, ela vale zero.
• Continuar com $t=-\frac{1}{3}$, ou eliminá-la sem dizer porquê. Aceitar uma exponencial negativa é um erro de desconhecimento de propriedades, e nesses casos a pontuação máxima da etapa passa a ser a parte inteira de metade — a etapa do $x=\ln 2$ cai de $2$ para $1$. A frase "como $e^x>0$" custa cinco palavras e vale um ponto.
• Ir buscar $x\approx 0,69$ à calculadora. O enunciado diz sem recorrer à calculadora, e a regra geral para instruções desrespeitadas é seca: a etapa em causa e todas as que dela dependam são pontuadas com zero. Aqui isso é o $x=\ln 2$ ($2$ pontos) mais o valor pedido ($3$ pontos) — $5$ pontos por uma tecla.
• Parar em $3\ln 2$. O resultado está certo e continua a não ser o que foi pedido: a forma $\ln (a)$ é parte da etapa final, que é a mais cara do item ($3$ pontos). Um resultado final que não respeita a forma solicitada desvaloriza essa etapa, e faltar-lhe a passagem final desvaloriza-a de novo — $3\ln 2=\ln 8$ é uma linha que vale mais do que toda a fórmula resolvente.