O ponto de partida. Este item é diferente dos outros: não há contas nem números: há duas proposições para derrubar. Derrubar uma proposição é mostrar que ela contradiz alguma das informações do enunciado. Portanto a primeira coisa a fazer é inventariar, com rigor, o que te foi dado.
Sabes três coisas sobre f:
- o domínio é R — logo f(1) existe e é um número real (isto vai ser decisivo);
- f é diferenciável em R∖{1} e crescente em ]−∞,1[ e em ]1,+∞[;
- a recta de equação x=1 é assíntota ao gráfico de f — e uma recta vertical só pode ser assíntota vertical.
Guarda o significado de assíntota vertical: a recta x=1 ser assíntota do gráfico de f significa que pelo menos um dos limites laterais de f em 1 é infinito, isto é,
x→1−limf(x)=±∞oux→1+limf(x)=±∞1.º — porque é falsa a proposição I
I. A função f é contínua em x=1.
Recorda a definição: f é contínua em x=1 se e só se existe x→1limf(x) e esse limite é finito e igual a f(1). Isso obriga os dois limites laterais a existirem, a serem finitos e a coincidirem com f(1).
Ora, como o domínio de f é R, o número f(1) existe e é real. E como a recta x=1 é assíntota vertical do gráfico de f, pelo menos um dos limites laterais de f em 1 é infinito.
Um limite lateral infinito e uma continuidade em 1 não podem coexistir: a continuidade exige limites laterais finitos e iguais a f(1)∈R. Há contradição directa.
Logo a função f não é contínua em x=1, e a proposição I é falsa.
(Podes ainda ser mais preciso, e é bonito: como f é crescente em ]−∞,1[, o limite à esquerda de 1 ou é finito ou é +∞; como é crescente em ]1,+∞[, o limite à direita ou é finito ou é −∞. A assíntota obriga a que x→1−limf(x)=+∞ ou x→1+limf(x)=−∞. Não é necessário para a justificação, mas mostra que dominas o assunto — e a grelha de linguagem científica lê isso.)
2.º — porque é falsa a proposição II
II. A recta de equação y=−x+2 é tangente ao gráfico da função f num ponto de abcissa diferente de 1.
O que liga "recta tangente" a "derivada" é a interpretação geométrica da derivada: se a recta t é tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a, então o declive de t é f′(a).
A recta y=−x+2 está escrita na forma y=mx+b, logo o seu declive é
m=−1<0Por outro lado, seja a um qualquer número real diferente de 1. Então a pertence a ]−∞,1[ ou a ]1,+∞[, e em qualquer desses intervalos f é diferenciável e crescente. Ora, uma função diferenciável e crescente num intervalo tem derivada não negativa em todos os pontos desse intervalo:
f′(a)≥0para todo o a=1Se a recta y=−x+2 fosse tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a=1, teria de ser f′(a)=−1. Mas −1<0 e f′(a)≥0 — impossível.
Logo a recta de equação y=−x+2 não é tangente ao gráfico de f em nenhum ponto de abcissa diferente de 1, e a proposição II é falsa.
⚠️ Atenção ao rigor do sinal: escreve f′(a)≥0, e não f′(a)>0. Uma função crescente pode ter derivada nula em pontos isolados (a função x↦x3 é crescente em R e tem f′(0)=0). O que sabes é f′(a)≥0 — e isso já chega para excluir −1. Afirmar mais do que se sabe é um erro de linguagem científica, mesmo quando a conclusão calha certa.
como este item é corrigido (é por níveis, não por etapas)
Aqui não há etapas com pontinhos a somar: há duas grelhas, e a tua resposta é classificada como um todo.
Grelha A — Conteúdos, até 12 pontos:
- nível 4 — 12 pontos: apresenta, de forma completa, as duas justificações;
- nível 3 — 9 pontos: uma justificação completa e a outra incompleta;
- nível 2 — 6 pontos: apenas uma justificação, mas completa; ou as duas, ambas incompletas;
- nível 1 — 3 pontos: apenas uma justificação, e incompleta.
Grelha B — Linguagem Científica, até 2 pontos:
- nível 2 — 2 pontos: usa adequadamente o vocabulário específico da Matemática;
- nível 1 — 1 ponto: usa-o, mas com uma ou mais falhas.
A consequência prática é importante e pouco intuitiva: os saltos são grandes. Entre uma justificação "completa" e a mesma justificação "incompleta" vão 3 pontos de uma vez — não há meios-tons. Por isso, numa resposta por níveis, escreve a mais, nunca a menos.
O que faz uma justificação ser completa: (1) invocar a informação do enunciado que usas (o domínio é R; a recta x=1 é assíntota; f é crescente e diferenciável fora de 1); (2) invocar a definição ou o resultado teórico que a liga à proposição (definição de continuidade; interpretação geométrica da derivada); (3) fechar com a contradição explícita e a frase "logo a proposição é falsa".
E a grelha B é dinheiro fácil: 2 pontos só por escreveres assíntota vertical, limite lateral, domínio, declive, derivada, diferenciável com o sentido correcto. Mesmo que só consigas justificar uma das proposições, escreve-a em linguagem matemática cuidada — esses 2 pontos ganham-se à mesma.
onde se perdem pontos
- Justificar bem uma proposição e deixar a outra em branco. Mesmo impecável, uma justificação sozinha fecha-te no nível 2: 6 dos 12 pontos da grelha A. Duas ou três linhas na outra — a informação do enunciado que usas e a conclusão — sobem-te ao nível 3, que são 9. Numa grelha por níveis, escrever pouco vale sempre mais do que não escrever.
- Dar a conclusão em vez da razão. «É falsa porque há uma assíntota» está certo e é incompleto, e incompleto aqui não tira um ponto: desce um patamar inteiro, 3 pontos de uma vez. O que o descritor procura é a cadeia escrita — o domínio é R, logo f(1) é um número real; a assíntota obriga um limite lateral a ser infinito; a continuidade exigia o contrário.
- Escrever certo mas em linguagem vaga. A grelha B vale 2 pontos e é independente da A: ganham-se por usar assíntota vertical, limite lateral, domínio, declive, derivada com o sentido exacto. Mesmo com a grelha A a correr mal, esses 2 pontos continuam em jogo — desde que escrevas como matemático e não como quem descreve um desenho.
- Justificar a proposição II com «f é crescente, logo não tem tangentes». Tem, e em todos os pontos onde é diferenciável. A razão certa é sobre o declive: uma tangente num ponto de abcissa a tem declive f′(a)≥0, e a recta dada tem declive −1. Uma justificação com o argumento errado não é incompleta — é falsa, e não sobe nível nenhum.
- Afirmar f′(a)>0 em vez de f′(a)≥0. Não é preciosismo: é dizer mais do que o enunciado garante, e isso é exactamente o que a grelha B mede. Custa o segundo ponto da linguagem científica e, com um corrector exigente, ainda torna a justificação incompleta.
- Responder com um esboço. Um gráfico ilustra e não demonstra, e as proposições são sobre qualquer função nas condições dadas. O classificador só pontua o que está escrito em palavras e símbolos — um desenho sozinho fica no nível 0.