Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 2.1, resolvido

O que governa este item é a definição de continuidade num ponto. A função $f$ está definida por ramos, e $x=3$ é precisamente o ponto onde os ramos se trocam: à esquerda (e no próprio $3$) vale a expressão de cima, à direita vale a de baixo. Num ponto destes a continuidade nunca se lê à vista — há que comparar três quantidades.

$f$ é contínua em $x=3$ se e só se

Repara que $3$ pertence ao domínio ($f$ tem domínio $\mathbb{R}$) e que é o ramo de cima que o cobre, porque a condição é $x\le 3$. Escrever esta igualdade é a primeira etapa pontuada, e vale $2$ pontos por si só — escreve-a mesmo que não consigas terminar o item.

1.º — calcular $f(3)$ e o limite à esquerda

Para $x\le 3$ a expressão é $4-e^{3-x}(x+1)-\frac{1}{2}{x}^2$, que é contínua em todo o $\mathbb{R}$ (soma e produto de uma exponencial com polinómios). Por isso o limite à esquerda calcula-se por substituição directa, e coincide com $f(3)$:

Como $e^0=1$:

E, pelo mesmo cálculo, $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=-\frac{9}{2}$.

Cuidado com o sinal: os dois primeiros termos cancelam-se e o que sobra é $-\frac{9}{2}$, negativo. Quem deixa cair o sinal escreve $\frac{9}{2}$ e estraga a comparação final.

2.º — atacar o limite à direita — reconhecer a indeterminação

Para $x>3$ a expressão é $\frac{e^{x-3}-1}{x^2-9}$. Substituindo:

Estás perante uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$. Dizer isto em voz alta é etapa pontuada — não se salta para a conta seguinte sem justificar porque é que a substituição directa não serve.

Esta etapa vale, sozinha, $8$ dos $14$ pontos do item.

3.º — levantar a indeterminação pelo limite notável

O numerador tem a forma $e^{\square }-1$ e o denominador é uma diferença de quadrados. A chave é fazer aparecer $x-3$ no denominador, porque $x-3$ é exactamente o expoente do numerador — e o formulário dá o limite notável

Factoriza $x^2-9=(x-3)(x+3)$:

Agora separa o produto — podes fazê-lo porque os dois limites existem e são finitos:

No primeiro factor faz a mudança de variável $y=x-3$. Quando $x\to 3^{+}$, tem-se $y\to 0^{+}$, e o limite notável dá $1$:

O segundo factor calcula-se por substituição: $\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}$. Logo

pela regra de Cauchy (l'Hôpital)

Os critérios aceitam um segundo processo, que é mais curto. Como se trata de uma indeterminação $\frac{0}{0}$ e ambas as funções são deriváveis numa vizinhança de $3$, podes derivar numerador e denominador separadamente (atenção: não é a derivada do quociente):

Os dois processos valem os mesmos $8$ pontos. Escolhe um e leva-o até ao fim — não mistures os dois na folha.

4.º — comparar e concluir

Junta as três quantidades:

Como $-\frac{9}{2}\ne \frac{1}{6}$, os limites laterais são diferentes, logo não existe $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)$ e a função $f$ não é contínua em $x=3$.

Podes ainda acrescentar, com rigor, que $f$ é contínua à esquerda em $x=3$ (porque $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=f(3)$) e que a descontinuidade vem só do lado direito.

como se escreve o resultado

Os valores pedem-se exactos: $-\frac{9}{2}$ e $\frac{1}{6}$, em fracção irredutível. Não escrevas $-4,5$ nem $0,17$ — o enunciado proíbe a calculadora e pede valor exacto sempre que não é pedida aproximação.

A conclusão tem de estar escrita por palavras: «a função $f$ não é contínua em $x=3$». Deixar os dois números na folha sem a frase final custa os últimos $2$ pontos.

onde se perdem pontos

Não escrever a condição de continuidade no início: são $2$ pontos que se ganham antes de fazer qualquer conta.

Perder o sinal em $f(3)$: $4-4-\frac{9}{2}$ dá $-\frac{9}{2}$. Com o sinal trocado ainda concluis que é descontínua, mas o valor está errado e essa subetapa cai.

Substituir directamente no ramo da direita e escrever $\frac{0}{0}=0$ ou $\frac{0}{0}=1$. $\frac{0}{0}$ não é um número: é um símbolo de indeterminação, e tem de ser levantado.

Aplicar a regra de Cauchy sem dizer que há indeterminação: a regra só se pode invocar depois de verificar que numerador e denominador tendem ambos para zero.

Derivar o quociente em vez de derivar numerador e denominador separadamente — é o erro mais comum de quem usa l'Hôpital de cor.

Usar o ramo errado num dos lados: à esquerda de $3$ (e em $3$) vale a expressão de cima; à direita vale a de baixo. Trocar isto invalida o item inteiro.

Parar no cálculo dos dois limites sem comparar nem concluir.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que te perguntarem pela continuidade no ponto de junção de uma função definida por ramos, o guião é fixo e tem quatro linhas: escrever a condição, calcular $f(a)$, calcular os dois limites laterais (usando o ramo correcto de cada lado), comparar.

E fixa o gatilho: numerador com $e^{\square }-1$ e denominador que se anula no mesmo ponto pede sempre o limite notável $\underset{y\to 0}{\lim }\frac{e^y-1}{y}=1$ — a tarefa é só arranjar, por factorização, o factor que reproduz o expoente.