Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 3, resolvido

Antes de qualquer conta, repara numa coisa que decide metade do item: há aqui DOIS pares de variáveis diferentes, e não um só.

• A Tabela 1 relaciona IMC ($x$) com TMB ($y$), nas mesmas sete mulheres.
• A Figura 1 relaciona idade ($x$) com TMB ($y$), nas mesmas sete mulheres.

A TMB é a única coisa que as duas fontes partilham. Por isso: os espaços (a) e (b) lêem-se só na Tabela, o espaço (d) lê-se só na Figura, e o espaço (c) é o único que obriga a olhar para as duas ao mesmo tempo.

1.º — espaço (a) — a média das sete TMB

A média sai da coluna da TMB da Tabela 1, e mais nada. Soma os sete valores:

Divide pelo número de mulheres:

Arredondando às unidades, $\bar{y}\approx 1374$ .

(a) $\to$ (2)

Se tens calculadora gráfica, mete a coluna da TMB numa lista e pede as medidas estatísticas — a média vem de imediato. Mas a soma à mão também te serve de controlo: $9619$ tem de estar entre $7\times 1202=8414$ e $7\times 1567=10969$ , e está.

2.º — espaço (b) — quantos IMC caem entre os quartis

Aqui a ordem dos dados é tudo. Ordena a coluna do IMC por ordem crescente:

São $n=7$ valores, número ímpar. A mediana é o valor do meio, o $4{.}^{\text{o}}$ : $\tilde{x}=23,9$ .

Com $n$ ímpar, a mediana não entra em nenhuma das duas metades. Fica assim:

• metade inferior: $22,7;23,4;23,6$ , cuja mediana é $Q_1=23,4$ ;
• metade superior: $24,6;27,5;31,2$ , cuja mediana é $Q_3=27,5$ .

O intervalo pedido é $\left]23,4;27,5\right[$ , e é aberto nos dois extremos: os próprios $23,4$ e $27,5$ não contam.

Percorre a lista ordenada e vê quem está estritamente lá dentro: $23,6$ , $23,9$ e $24,6$ . Fora ficam $22,7$ (abaixo), $31,2$ (acima) e os dois quartis (extremos excluídos).

São, portanto, $3$ mulheres — as mulheres $E$ , $C$ e $A$ .

(b) $\to$ (1)

3.º — espaço (c) — o sinal é que decide, não o módulo

Este é o espaço que separa quem percebeu o item de quem não percebeu. Compara-se:

• o coeficiente de correlação linear entre IMC e TMB (Tabela 1);
• o coeficiente de correlação linear entre idade e TMB (Figura 1).

Na Figura 1 não te dão $r$ — dão-te $r^2=0,887$ . Ao elevar ao quadrado perde-se o sinal, e o sinal recupera-se pelo declive da reta de regressão, que tem sempre o sinal de $r$ . A equação reduzida é $y=-9,02x+1777,62$ , logo o declive é $-9,02<0$ e, por isso,

Fixa isto: de $r^2$ não se conclui $r$ sem olhar para o declive (ou para o sentido da nuvem de pontos). São sempre dois candidatos, $+\sqrt{r^2}$ e $-\sqrt{r^2}$ .

Na Tabela 1 a associação é no sentido contrário: as mulheres com IMC maior têm TMB maior ($F$ tem o IMC mais baixo, $22,7$ , e a TMB mais baixa, $1202$ ; $G$ tem o IMC mais alto, $31,2$ , e a TMB mais alta, $1567$ ). A correlação é positiva. Com a calculadora, metendo o IMC numa lista e a TMB noutra, obténs $r_{\text{Tabela}}\approx 0,881$ .

Agora compara os números com sinal, que é o que a palavra «inferior/igual/superior» pede:

O coeficiente da Tabela 1 é superior ao da Figura 1.

(c) $\to$ (3)

Repara que nem precisas do valor exacto de $r_{\text{Tabela}}$ : basta veres que é positivo e que o da Figura é negativo. Um número positivo é sempre maior do que um negativo.

4.º — espaço (d) — usar a reta de regressão da Figura

Este espaço é sobre a Figura, onde a variável independente é a idade. Substitui $x=43$ na equação reduzida da reta de regressão:

Arredondando às unidades, $y\approx 1390$ .

(d) $\to$ (3)

o que se escreve na folha

Escreve-se apenas a correspondência letra $\to$ número, uma por linha: $\text{(a)}\to (2)$ , $\text{(b)}\to (1)$ , $\text{(c)}\to (3)$ , $\text{(d)}\to (3)$ . Não há cálculos a apresentar nem justificações a dar.

como este item é corrigido

Não há crédito espaço a espaço: a classificação é por níveis de desempenho, e os quatro espaços entram todos no mesmo saco.

Com uma só opção correta, a pontuação é zero. Ou seja: errar um espaço custa $4$ pontos, errar dois custa $8$ . Nunca deixes um espaço em branco — uma escolha ao calhas vale $\frac{1}{3}$ de hipótese e não tira nada.

a origem de cada opção errada

• Espaço (a), opção (3) — $1379$. É a mediana da TMB, e é ao mesmo tempo um valor observado: ordenando $1202;1282;1291;1379;1385;1513;1567$, o valor central é o da mulher $E$. Quem lê «média» e pede à calculadora a medida de localização errada — ou quem procura a resposta dentro da tabela — cai exactamente aqui.
• Espaço (a), opção (1) — $1351$. Sai de perder uma linha ao inserir a lista: sem a mulher $D$, $\frac{9619-1513}{6}=\frac{8106}{6}=1351$. O que torna este erro traiçoeiro é a calculadora contar o $n$ sozinha: ela divide por $6$ sem te avisar que só recebeu seis valores. Confere sempre o $n$ no ecrã antes de ler a média.
• Espaço (b), opção (2) — $4$. Vem de fechar um dos extremos do intervalo: em $\left[23,4;27,5\right[$ entram $23,4;23,6;23,9;24,6$, que são quatro. O enunciado escreve $\left]Q_1,Q_3\right[$ — os parênteses viram-se para fora nos dois lados, e $Q_1=23,4$ é o IMC da mulher $B$, que fica de fora.
• Espaço (b), opção (3) — $5$. É a contagem com o intervalo fechado dos dois lados, $\left[23,4;27,5\right]$: juntas $23,4$ e $27,5$ aos três de dentro e chegas a cinco. Cada extremo que fechas indevidamente vale exactamente uma mulher.
• Espaço (c), opção (1) — «inferior». Nasce de esquecer o sinal ao passar de $r^2$ para $r$: com $r_{\text{Figura}}=+\sqrt{0,887}\approx 0,942$ em vez de $-0,942$, comparas $0,881$ com $0,942$ e concluis «inferior». A raiz quadrada devolve-te dois candidatos, e quem escolhe entre eles é o declive da reta, que aqui é $-9,02$.
• Espaço (c), opção (2) — «igual». Vem de comparar $r$ com $r^2$: o coeficiente da Tabela é $r_{\text{Tabela}}\approx 0,881$ e o número escrito na Figura é $r^2=0,887$. São quase o mesmo número, e é de propósito — se não reparares que um está ao quadrado e o outro não, a diferença de $0,006$ parece arredondamento e respondes «igual».
• Espaço (d), opção (2) — $1379$. É outra vez a mediana da TMB, o valor da mulher $E$, arrastado da tabela para um espaço que se resolve só com a reta da Figura. A pergunta é sobre a idade de $43$ anos, e a Tabela 1 não tem idades: nenhum valor dela responde a este espaço.
• Espaço (d), opção (1) — $1350$. Não tem conta exacta que lá chegue: $-9,02\times 43+1777,62=1389,76$, e nem arredondar o declive a $-9$ ($1390,62$) nem a $-10$ ($1347,62$) produz $1350$ — para a reta dar $1350$ precisarias de $x\approx 47,4$ anos. É o valor redondo de quem lê a ordenada no gráfico a olho, numa escala marcada de $300$ em $300$, em vez de substituir $x=43$ na equação.

onde é que se perde este item

• Trocar as fontes. Usar a reta $y=-9,02x+1777,62$ para responder a (a) ou (b), ou procurar a idade na Tabela 1. A Tabela não tem idades e a Figura não tem IMC.
• Concluir $r\approx +0,942$ na Figura por ter esquecido o sinal do declive. Com esse valor, (c) daria «inferior» — e é exactamente o erro que a opção (1) está à espera.
• Incluir os quartis no intervalo. $\left]Q_1,Q_3\right[$ é aberto; se contares $23,4$ e $27,5$ passas de $3$ para $5$ mulheres, que é a opção (3).
• Incluir a mediana nas metades ao calcular os quartis. Com $n=7$ a mediana fica de fora das duas metades; se a incluíres, obténs $Q_1=23,5$ e $Q_3=26,05$ (média dos dois centrais de cada metade de $4$ valores) e podes acabar noutra contagem.
• Arredondar a média por defeito. $1374,14\dots$ arredonda para $1374$ ; a opção $1379$ existe porque é um dos valores da própria tabela (o da mulher $E$ ) e engana quem confunde média com um valor observado.
• Arredondar mal em (d). $1389,76$ arredonda para $1390$ , não para $1389$ nem para $1350$ .

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que um item de estatística te dá duas representações (uma tabela e um gráfico), a primeira pergunta a fazer é: cada uma relaciona que par de variáveis? E sempre que te derem $r^2$ em vez de $r$ , a segunda pergunta é: qual é o sinal do declive? Estes dois reflexos resolvem, sozinhos, a maior parte dos espaços deste género de item.