Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 10, resolvido

O item vive de uma só propriedade: quando elevas um complexo a uma potência, o módulo eleva-se a essa potência e o argumento multiplica-se por ela. E há aqui um detalhe que decide tudo — $|z|=\left|e^{i\theta }\right|=1$ , porque a forma $e^{i\theta }$ é a de um complexo de módulo $1$ . Logo o módulo não vai mudar; só o argumento é que se mexe.

1.º — escrever $z^2$ na forma trigonométrica

Daqui saem as duas informações de que precisas, e é este o passo que resolve o item:

• $\left|z^2\right|=|z{|}^2=1^2=1$ — o afixo de $z^2$ está à mesma distância da origem que o ponto $P$ ;
• $\mathrm{Arg}\left(z^2\right)=2\theta$ — o ângulo que o afixo de $z^2$ faz com o semieixo positivo real é o dobro do de $P$ .

2.º — usar o módulo para eliminar dois pontos

Como $|z|=1$ , o ponto $P$ está sobre a circunferência de centro na origem e raio $1$ , e $z^2$ tem de estar sobre essa mesma circunferência.

Na Figura 5, os pontos que estão aproximadamente à mesma distância da origem que $P$ são $C$ e $D$ . O ponto $A$ está nitidamente mais perto da origem, e o ponto $B$ está nitidamente mais longe — nenhum deles pode ser o afixo de $z^2$ .

3.º — usar o argumento para decidir entre $C$ e $D$

Falta a segunda condição. De $\theta \in \left]0,\frac{\pi }{6}\right[$ vem

ou seja, o argumento aumenta, e aumenta exactamente para o dobro.

Na figura, o ponto $D$ está abaixo de $P$ : faz com o semieixo positivo real um ângulo menor do que $\theta$ , e portanto está excluído. O ponto $C$ está acima de $P$ e faz com o semieixo positivo real um ângulo com cerca do dobro da amplitude do de $P$ — é o único que cumpre as duas condições ao mesmo tempo.

A resposta é a opção (C).

de onde vem cada opção errada

• (A) Ponto $A$ — vem de pensar que elevar ao quadrado encolhe, como acontece com um número real entre $0$ e $1$ . Aqui $|z|=1$ e $1^2=1$ : o módulo fica igual. Além disso $A$ tem argumento menor do que $\theta$ , e o argumento tinha de crescer. Falha nas duas condições.
• (B) Ponto $B$ — vem de multiplicar o módulo por $2$ em vez de o elevar ao quadrado, isto é, de escrever $\left|z^2\right|=2|z|$ , que é falso. O argumento de $B$ até serviria; o que o denuncia é a distância à origem.
• (D) Ponto $D$ — vem de trocar a operação pela inversa. Quem calcula a raiz quadrada em vez do quadrado divide o argumento por $2$ , e $\frac{\theta }{2}$ dá um ponto sobre a circunferência mas abaixo de $P$ , exactamente onde está $D$ .

onde se perdem os 12 pontos

• Decidir só pelo módulo. $C$ e $D$ estão os dois sobre a circunferência de raio $1$ ; quem pára aí fica com duas opções e escolhe ao calhas.
• Decidir só pelo argumento. $B$ também está acima de $P$ ; quem não olha para a distância à origem cai em $B$ .
• Ler a figura sem medir. Os pontos $C$ , $D$ e $P$ foram desenhados de propósito a distâncias parecidas da origem — compara com o compasso mental, não com a altura no papel.
• Assinalar mais do que uma opção na folha de respostas: o item vale $0$ pontos, mesmo que uma das assinaladas seja a certa.

o que fixar

Num item de complexos com figura e sem contas, as perguntas são sempre as mesmas duas: o que acontece ao módulo e o que acontece ao argumento. Numa potência de expoente $n$ , o módulo vai a $|z{|}^n$ e o argumento a $n\theta$ . Responde-lhes em separado — cada uma corta metade das opções, e sobra uma.