Exame de Matemática A 2026 · 1.ª fase — item 5.(AE2023), resolvido

A pergunta tem duas condições, e tens de verificar as duas, por esta ordem:

1. a expressão é termo geral de uma progressão geométrica?
2. a soma de todos os termos tem valor finito?

Uma sucessão $(u_n)$ é progressão geométrica quando o quociente $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ é constante; a esse valor chama-se razão, $r$ .

E a soma de todos os termos de uma progressão geométrica é finita se e só se $|r|<1$ , valendo então

1.º — primeira condição — quais são mesmo progressões geométricas

(A) $n^2-4n$ . Os primeiros termos são $u_1=-3$ , $u_2=-4$ , $u_3=-3$ . O quociente $\frac{u_2}{u_1}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$ , mas $\frac{u_3}{u_2}=\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}$ . Os quocientes não são iguais, logo não é progressão geométrica.

(B) $2n+3$ . Os termos são $5,7,9,11,\dots$ : a diferença é constante e igual a $2$ , portanto é uma progressão aritmética, não geométrica ($\frac{7}{5}\ne \frac{9}{7}$ ).

Ficam de pé apenas as opções (C) e (D). E há uma razão para isso: uma expressão da forma $a^n$ é sempre progressão geométrica de razão $a$ , porque

2.º — segunda condição — a soma só é finita se $|r|<1$

(C) ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n$ tem razão $r=\frac{3}{2}$ , e $\left|\frac{3}{2}\right|=1,5>1$ . Os termos crescem sem limite ($\lim {\left(\frac{3}{2}\right)}^n=+\infty$ ), logo a soma de todos os termos não é finita.

(D) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ tem razão $r=\frac{2}{3}$ , e $\left|\frac{2}{3}\right|<1$ . A soma de todos os termos é finita.

O primeiro termo é $u_1=\frac{2}{3}$ , e portanto

A soma de todos os termos vale $2$ — um número finito, como se pedia.

a opção

A resposta é a opção (D).

de onde vem cada opção errada

• (A) $n^2-4n$ — falha logo na primeira condição: não é progressão geométrica. Apanha quem só verifica a segunda condição, ou quem vê os termos $-3,-4,-3$ e acha que «vão diminuindo».
• (B) $2n+3$ — apanha quem troca progressão aritmética com geométrica. É a confusão entre diferença constante e quociente constante. Mesmo que fosse geométrica, a soma de infinitos termos positivos crescentes nunca seria finita.
• (C) ${\left(\frac{3}{2}\right)}^n$ — é o distrator montado de propósito: passa na primeira condição (é geométrica) e falha na segunda por inversão da fração. Quem se lembra de que «a razão tem de ser pequena» mas não compara com $1$ escolhe esta.

somar à mão os primeiros termos

Para a (D), as somas parciais são $\frac{2}{3}\approx 0,67$ ; $\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\approx 1,11$ ; $+\frac{8}{27}\approx 1,41$ ; $+\frac{16}{81}\approx 1,60$ — aproximam-se de $2$ , como a fórmula previu.

Para a (C), as somas parciais são $1,5$ ; $3,75$ ; $7,125$ ; $13,2$ … disparam.

onde é que se perde este item

• Esquecer a primeira condição. «Progressão geométrica» faz parte do enunciado: uma expressão que não o seja está eliminada mesmo que os seus termos diminuam.
• Inverter a razão e trocar $\frac{3}{2}$ com $\frac{2}{3}$ , que é exactamente o que as opções (C) e (D) convidam a fazer.
• Comparar $r$ com $0$ em vez de comparar $|r|$ com $1$ . O critério é $|r|<1$ ; uma razão negativa como $-\frac{1}{2}$ também dá soma finita.
• Usar a fórmula com $u_1=1$ . Aqui o primeiro termo é ${\left(\frac{2}{3}\right)}^1=\frac{2}{3}$ , porque a sucessão começa em $n=1$ ; se usares $u_1=1$ obténs $3$ em vez de $2$ .
• Confundir a soma de todos os termos com o limite da sucessão. O limite dos termos de (D) é $0$ ; a soma de todos eles é $2$ . São coisas diferentes.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que o enunciado falar em soma de todos os termos (ou «soma infinita»), a pergunta que resolve o item é uma só: $|r|<1$ ? Antes disso, confirma que a sucessão é mesmo geométrica — quociente constante, não diferença constante. E, quando as opções são frações inversas uma da outra, é sinal certo de que a inversão é o erro que estão à espera.