Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 2, resolvido

O que governa este item é a definição de progressão aritmética: cada termo obtém-se do anterior somando sempre a mesma razão $r$, e por isso

Daqui sai a propriedade que resolve metade do item: a diferença entre dois termos é a razão multiplicada pela diferença das ordens,

Repara no que te deram: uma diferença de dois termos e um produto dos mesmos dois termos. A diferença dá-te $r$; o produto dá-te o valor de um termo. Com as duas coisas tens a progressão inteira.

1.º — tirar a razão da diferença — etapa obrigatória

Escreve os dois termos em função de $a_1$ e de $r$:

Subtrai:

O $a_1$ desaparece — é por isso que se subtrai: a diferença de dois termos não depende do primeiro termo, só da razão. Como o enunciado diz que essa diferença vale $3$:

Os critérios pontuam separadamente o reconhecer as expressões de $a_4$ e $a_{10}$, o obter $a_{10}-a_4=6r$ e o obter $r$. Escreve os três passos, não saltes para $r=\frac{1}{2}$.

2.º — usar o produto para achar um termo

Agora a segunda condição, $a_4\times a_{10}=40$. Substitui os dois termos pelas expressões em $a_1$, já com $r=\frac{1}{2}$:

Desenvolve:

Pela fórmula resolvente:

3.º — «de termos positivos» é uma condição, não um adorno — etapa obrigatória

O enunciado diz que a progressão é de termos positivos. Com $a_1=-\frac{19}{2}$ o primeiro termo seria negativo, o que a contraria. Fica

Sempre que uma equação do 2.º grau te dá duas soluções num problema com contexto, volta ao enunciado à procura da condição que elimina uma delas. Quase sempre existe, e está lá de propósito.

4.º — escrever o termo geral

5.º — resolver a equação que a pergunta esconde

«$173$ é termo da sucessão» quer dizer que existe uma ordem $n$ com $a_n=173$. Determinar a ordem é resolver essa equação em $n$:

A ordem do termo $173$ é $340$.

chegar a $r$ pela fórmula da diferença de ordens

Os critérios aceitam um caminho mais curto para a razão, sem passar por $a_1$:

e, como $a_{10}=a_4+6r=a_4+3$, a segunda condição escreve-se logo em $a_4$:

Termos positivos $\Rightarrow a_4=5$, e daí $a_1=a_4-3r=5-\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$, que dá o mesmo termo geral. Este caminho tem menos contas com frações e é o que erra menos.

confirmar com os dados de partida

Com $a_n=\frac{1}{2}n+3$:

E a resposta: $a_{340}=\frac{340}{2}+3=170+3=173✓$. Os três valores batem — a solução está fechada.

o que se responde

Pede-se a ordem, não o termo. A ordem é um número natural e a resposta é $340$, não $173$ nem $\frac{1}{2}n+3$. Escreve-a por extenso: «a ordem desse termo é $340$».

onde se perdem pontos

• Usar $a_{10}-a_4=10r$ em vez de $6r$. É o erro mais comum: a razão multiplica a diferença das ordens ($10-4=6$), não a ordem maior. Daria $r=0,3$ e arrastava tudo.
• Ficar com as duas soluções da equação do 2.º grau e não usar «de termos positivos» para eliminar a negativa. Perdes a etapa do valor de $a_1$ (ou de $a_4$) e a resposta fica ambígua.
• Saltar o termo geral. Os critérios pontuam com 2 pontos o obter $a_n=\frac{1}{2}n+3$ e com mais 2 o escrever $a_n=173$. Quem faz as contas de cabeça e escreve só «$340$» perde essas etapas.
• Responder $173$. Confundir o termo com a ordem custa os 2 pontos finais.
• Esquecer que $n$ tem de ser natural. Aqui dá certo, mas se desse um valor não inteiro a conclusão seria que $173$ não é termo da sucessão — e isso tem de ser dito.

para reconhecer o próximo item deste tipo

Numa progressão aritmética, diferença de dois termos $\Rightarrow$ razão e um termo conhecido $\Rightarrow$ primeiro termo. Com $r$ e $a_1$ escreves o termo geral, e a partir daí toda a pergunta («qual a ordem de…», «é termo da sucessão?», «quantos termos são menores que…») vira uma equação ou uma inequação em $n$. A condição de sinal («termos positivos», «termos inteiros») está no enunciado para decidir entre as raízes — procura-a sempre.