Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 1, resolvido

O item diz-te o destino e pergunta-te o caminho: de que sucessão é que os termos se aproximam de zero? Não precisas de calcular quatro limites completos — precisas de saber, para cada família de expressões, o que o limite faz. São três famílias aqui: uma fração de polinómios, duas potências de expoente $n$, e um polinómio do 1.º grau.

1.º — arrumar as famílias antes de calcular

Olha para as quatro opções e classifica-as:

• (A) é um quociente de polinómios em $n$;
• (B) e (C) são progressões geométricas, do tipo $r^n$;
• (D) é uma progressão aritmética, do tipo $an+b$.

Cada família tem uma regra própria. Reconhecê-la poupa-te metade do trabalho.

2.º — (D) — um polinómio de grau 1 nunca tende para zero

Quando $n$ cresce, $2n$ cresce com ele e o $+3$ não trava nada. Qualquer expressão $an+b$ com $a\ne 0$ diverge. Fica excluída.

3.º — (A) — o grau de cima é maior do que o de baixo

A regra para quocientes de polinómios em $n$ compara os graus: grau de cima $2$, grau de baixo $1$. Com o grau de cima maior, o quociente diverge. Vê-o à mão, separando a fração:

$\frac{2}{n}\to 0$ e $-n\to -\infty$, logo

Fica excluída.

4.º — (B) e (C) — a regra das potências $r^n$

Esta é a regra que o item quer que tenhas fixada:

O que manda é o módulo da razão, não o sinal: a potência tende para zero exactamente quando $|r|<1$.

5.º — (B) — a razão tem módulo maior do que $1$

Em $(-2{)}^n$ a razão é $r=-2$, com $|r|=2>1$. Os termos são $-2,4,-8,16,\dots$ — alternam de sinal e crescem em módulo. Não se aproximam de nada: o limite não existe. Fica excluída.

(C) — razão negativa, mas de módulo menor do que $1$

Em ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^n$ a razão é $r=-\frac{1}{2}$, e

Como $\left|{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right|={\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$, a sucessão tem de tender para zero também. Os termos são $-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16},\dots$ — alternam de sinal, mas encolhem, e é o encolher que manda.

A opção correcta é a (C).

de onde vem cada opção errada

• (A) $\frac{2-n^2}{n}$ — apanha quem vê um $n$ no denominador e conclui «logo tende para zero», sem comparar os graus. O denominador só ganha quando o grau de baixo é maior; aqui é menor e o limite é $-\infty$.
• (B) $(-2{)}^n$ — apanha quem lê a regra como «$r<1$» em vez de «$|r|<1$». De facto $-2<1$, mas $|-2|=2>1$: os termos alternam a crescer, e nem sequer há limite.
• (D) $2n+3$ — apanha quem confunde «razão pequena» de uma progressão aritmética com convergência. Numa aritmética o limite é sempre $\pm \infty$ (ou constante, se $a=0$), nunca zero por ser lenta.

onde se perdem os 12 pontos

É escolha múltipla: ou acertas e levas os 12, ou não levas nada — não há resposta parcial. As duas armadilhas que mais custam pontos aqui são confundir $r<1$ com $|r|<1$ (leva-te ao (B)) e assumir que ter $n$ no denominador chega para anular (leva-te ao (A)). Em ambos os casos a correcção é a mesma: escreve a regra por extenso antes de decidir.

para reconhecer o próximo item deste tipo

Sempre que te derem quatro expressões e pedirem qual delas tem um dado limite, não calcules quatro limites — classifica quatro famílias. Quociente de polinómios → compara os graus. $r^n$ → compara $|r|$ com $1$. $an+b$ → diverge sempre. Em três segundos ficas com uma opção só.