Duas palavras do enunciado decidem tudo: «mostre que a equação é possível» num intervalo. Isto é o cartão de visita do teorema de Bolzano-Cauchy (teorema dos valores intermédios). Não te pedem para resolver a equação — pedem-te para garantir que ela tem solução ali dentro, e esse teorema é a única ferramenta do programa que garante uma solução sem a calcular.
O teorema tem três requisitos, e nenhum é dispensável:
- a função é contínua num intervalo fechado [a,b];
- o valor k que queres atingir está entre f(a) e f(b);
- então existe c∈]a,b[ tal que f(c)=k.
Aqui a=−6, b=−5 e k=g(0). Começa por descobrir quanto vale esse k — enquanto for um símbolo, não há nada para comparar.
1.º — calcular g(0) — o alvo da equação
g(0)=0−1f(0)=−1f(0)=−f(0)e
f(0)=2×0+3+ln((1−0)3)=3+ln1=3+0=3Logo
g(0)=−13=−3A equação a estudar é, portanto, f(x)=−3.
2.º — justificar a continuidade — e o intervalo tem de ser FECHADO
A função f é a soma de 2x+3, que é polinomial, com ln((1−x)3), que é a composta da função logarítmica com uma função polinomial. Ambas são contínuas onde estão definidas, e portanto f é contínua em todo o seu domínio ]−∞,1[.
Como [−6,−5]⊂]−∞,1[, a função f é contínua em [−6,−5].
⚠️ Escreve o intervalo fechado. Os critérios dão 4 pontos a esta etapa — a maior fatia do item — e a nota 2 diz explicitamente que referir a continuidade em ]−6,−5[ vale 0 pontos. Pior: pela nota 3, um zero aqui arrasta a etapa final também a zero. São 6 dos 14 pontos que se perdem por dois parênteses virados ao contrário. O teorema exige o fechado porque precisa de f(a) e f(b), e num intervalo aberto esses valores não existem.
3.º — calcular os valores nos extremos
f(−6)=2×(−6)+3+ln((1−(−6))3)=−12+3+ln(73)=−9+3ln7≈−3,16f(−5)=2×(−5)+3+ln((1−(−5))3)=−10+3+ln(63)=−7+3ln6≈−1,62O enunciado do item 3 proíbe a calculadora excepto em eventuais cálculos numéricos — e ln7 e ln6 são exactamente isso. Podes usá-la aqui.
4.º — verificar que o alvo está entre os dois valores
−3,16<−3<−1,62ou seja,
f(−6)<g(0)<f(−5)É esta desigualdade que faz o teorema funcionar. Sem ela, a continuidade sozinha não garante nada.
5.º — invocar o teorema e concluir
Como f é contínua em [−6,−5] e g(0) está compreendido entre f(−6) e f(−5), o teorema de Bolzano-Cauchy garante que
∃c∈]−6,−5[:f(c)=g(0)Ou seja, a equação f(x)=g(0) tem pelo menos uma solução em ]−6,−5[ — é possível nesse intervalo, como se pretendia mostrar.
Repara que o teorema devolve o c no intervalo aberto, que é precisamente o que o enunciado pede. A hipótese é fechada, a conclusão é aberta.
o mesmo com uma função auxiliar
Os critérios aceitam um segundo processo, que passa por trazer tudo para um dos lados e procurar um zero em vez de um valor:
Considera h definida por h(x)=f(x)−g(0)=f(x)+3, com o mesmo domínio de f.
- h é contínua em [−6,−5], pela mesma razão que f (diferença de uma função contínua com uma constante);
- h(−6)=f(−6)+3≈−3,16+3=−0,16<0;
- h(−5)=f(−5)+3≈−1,62+3=1,38>0;
- logo h(−6)×h(−5)<0.
Pelo corolário de Bolzano-Cauchy, existe c∈]−6,−5[ com h(c)=0, isto é, f(c)=g(0).
Os dois processos valem os mesmos 14 pontos. Escolhe um e escreve-o até ao fim; misturar os dois é a forma mais rápida de não fechar nenhum.
bom senso sobre o resultado
No item 3.1 concluíste que f é crescente em ]−∞,−21]. O intervalo ]−6,−5[ está inteiro nessa zona, logo f é estritamente crescente aí — e portanto a solução não é só «pelo menos uma»: é exactamente uma. Não é preciso dizê-lo para ter a cotação toda, mas confirma que os números batem certo.
onde se perdem pontos
- Escrever «contínua em ]−6,−5[». Nota 2: 0 pontos nos 4 da etapa; nota 3: mais 0 nos 2 da conclusão. Seis pontos num par de parênteses.
- Não calcular g(0). Quem tenta aplicar Bolzano com o k ainda simbólico não consegue escrever a desigualdade e perde 4 pontos (o valor e a comparação).
- Confundir g(0) com f(0). f(0)=3 e g(0)=−3. Com k=3 a desigualdade não se verifica e a conclusão sai errada.
- Esquecer a comparação. Calcular f(−6), f(−5) e g(0) e saltar para «logo, por Bolzano…» sem escrever f(−6)<g(0)<f(−5) custa 2 pontos: é a hipótese do teorema.
- Não nomear o teorema. «Logo existe solução» não chega. Escreve «pelo teorema de Bolzano-Cauchy».
- Tentar resolver a equação. −9+3ln7 não se resolve por métodos algébricos elementares. Quem tenta, gasta o tempo todo e não entrega nada.
para reconhecer o próximo item deste tipo
Sempre que leres «mostre que a equação … é possível/tem (pelo menos) uma solução no intervalo …», a resposta é Bolzano-Cauchy e escreve-se sempre pela mesma ordem: (1) identifica o valor k a atingir e calcula-o; (2) justifica a continuidade no intervalo fechado, dizendo de que operações a função resulta; (3) calcula a função nos dois extremos; (4) mostra que k está entre eles; (5) invoca o teorema pelo nome e conclui com o c no intervalo aberto. As cinco linhas valem a cotação toda — e a segunda é a que mais pontos vale e a que mais se estraga.