Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 3.2, resolvido

«Assíntotas paralelas aos eixos coordenados» quer dizer duas famílias: as paralelas ao eixo $Oy$ (verticais, $x=a$) e as paralelas ao eixo $Ox$ (horizontais, $y=b$). Não te pedem oblíquas, e não tens de as procurar.

O domínio manda em tudo: $D_g=\left]-\infty ,1\right[$. Dele sai a lista de sítios a estudar, e essa lista é curta.

onde é que pode haver assíntota vertical

Uma assíntota vertical só pode existir onde a função deixa de estar definida, ou seja, num ponto que não pertence ao domínio mas está na sua fronteira, ou num ponto onde a função não é contínua. Ora:

é o quociente de duas funções contínuas em $\left]-\infty ,1\right[$ ($f$ é soma de um polinómio com a composta de $\ln$ com um polinómio) e o denominador nunca se anula nesse intervalo, porque $x-1=0$ só em $x=1$, que está fora do domínio. Logo $g$ é contínua em todo o seu domínio e a única candidata a assíntota vertical é a reta $x=1$, o extremo direito.

Esta frase vale 1 ponto por si (a justificação da inexistência de outras) — escreve-a.

1.º — o limite em $1^{-}$ — a etapa mais estruturada

Como $1$ é o extremo direito do domínio, só há um lado a estudar: $x\to 1^{-}$.

Trata numerador e denominador separadamente — os critérios pontuam-nos separadamente.

Numerador. Quando $x\to 1^{-}$, tem-se $1-x\to 0^{+}$, logo $(1-x{)}^3\to 0^{+}$ e

Como $2x+3\to 5$ (finito), a soma vai para $-\infty$:

Denominador. Quando $x\to 1^{-}$, tem-se $x<1$, logo $x-1$ aproxima-se de zero por valores negativos:

O $0^{-}$ não é um detalhe de notação — é ele que decide o sinal do resultado.

Quociente. Um infinito negativo a dividir por zero negativo dá infinito positivo:

Como este limite é infinito, a reta de equação $x=1$ é assíntota vertical ao gráfico de $g$, e é a única.

2.º — onde é que pode haver assíntota horizontal

Uma assíntota horizontal aparece quando $x$ tende para um infinito que o domínio alcança. Como $D_g=\left]-\infty ,1\right[$, o domínio não vai até $+\infty$: só há um ramo a estudar, $x\to -\infty$. Diz isto por escrito — quem estuda $+\infty$ está a estudar um sítio onde a função não existe.

3.º — levantar a indeterminação por separação de parcelas

Substituindo directamente:

É uma indeterminação. A saída é partir a fração em duas, porque cada parcela sabe-se tratar sozinha:

Primeira parcela — quociente de polinómios do mesmo grau, o limite é o quociente dos coeficientes de maior grau:

4.º — a segunda parcela pede uma mudança de variável

A parcela $\frac{\ln \left((1-x{)}^3\right)}{x-1}$ tem o logaritmo de uma expressão em $-\infty$, e o limite notável que conheces é $\underset{y\to +\infty }{\lim }\frac{\ln y}{y}=0$, escrito em $+\infty$. A mudança de variável serve exactamente para pôr o limite nessa forma.

Faz $y=1-x$. Então:

• se $x\to -\infty$, tem-se $y\to +\infty$;
• e $x-1=-(1-x)=-y$.

O $3$ sai de $\ln y^3=3\ln y$ e o sinal $-$ vem do denominador $-y$. Tira as duas constantes para fora antes de aplicar o limite notável — é o que os critérios pontuam com 1 ponto à parte.

5.º — juntar as duas parcelas e concluir

Como este limite é finito, a reta de equação $y=2$ é assíntota horizontal ao gráfico de $g$, e é a única (só há um ramo infinito).

o que se escreve na resposta

Pede-se uma equação de cada assíntota. As respostas são $x=1$ e $y=2$ — equações de rectas, não valores de limites. Escrever «$+\infty$» e «$2$» sem a frase de conclusão custa os dois pontos de conclusão.

onde se perdem pontos

• Não justificar a inexistência de outras assíntotas verticais. Vale 1 ponto e escreve-se numa linha: $g$ é contínua em $\left]-\infty ,1\right[$ e o denominador não se anula lá.
• Perder o $0^{-}$. Quem escreve $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x-1)=0$ sem sinal fica sem saber se o resultado é $+\infty$ ou $-\infty$. A conclusão de que há assíntota mantém-se, mas a etapa do sinal perde-se.
• Estudar $x\to +\infty$. Não existe: o domínio acaba em $1$. Não dá pontos e mostra que não se leu o domínio.
• Aplicar o limite notável sem mudar de variável. $\frac{\ln (1-x{)}^3}{x-1}$ com $x\to -\infty$ não é a forma $\frac{\ln y}{y}$ — falta o $y\to +\infty$. A mudança $y=1-x$ vale 2 pontos.
• Esquecer o sinal na mudança de variável. $x-1=-y$, não $y$. Quem troca obtém $+3\times 0$ — dá o mesmo $0$ por sorte, mas a etapa fica errada.
• Parar na indeterminação. Escrever $\frac{-\infty +\infty }{-\infty }$ e não separar a fração deixa 6 dos 7 pontos deste ramo em cima da mesa.

para reconhecer o próximo item deste tipo

Assíntotas começam sempre pelo domínio: ele diz-te quantos ramos infinitos há (aqui, um só) e quantos pontos de fronteira há (aqui, um só). Quando o numerador é uma soma com um logaritmo, a jogada é partir a fração em parcelas e tratar o logaritmo com uma mudança de variável que o leve a $+\infty$, onde vive o limite notável $\underset{y\to +\infty }{\lim }\frac{\ln y}{y}=0$. Esse limite notável ganha sempre ao polinómio: o logaritmo cresce devagar de mais para produzir assíntota.