Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 7, resolvido

Este item é de resolução gráfica com calculadora: o enunciado diz-te que o modelo é a função $C$ e pede-te uma duração. Antes de tocar na máquina, tens de traduzir «produz efeito terapêutico significativo» numa condição.

1.º — traduzir o enunciado numa condição

«Efeito terapêutico significativo» está definido no enunciado: a concentração tem de ser superior a $15$ miligramas por litro. Como $C(t)$ é exactamente essa concentração, a condição é

com $t>0$, que é o domínio dado. Esta etapa vale 4 pontos e é a que abre a resolução: se não escreveres condição nenhuma, essa etapa vale zero.

2.º — porque é que a duração é uma amplitude, e não um instante

A condição $C(t)>15$ não é satisfeita para um só valor de $t$ — é satisfeita num intervalo. A concentração começa em zero (em $t\to 0^{+}$, $e^{-0,2t}$ e $e^{-t}$ valem ambos $1$ e a diferença anula-se), sobe, atravessa o nível $15$, mantém-se acima durante algum tempo e volta a descer abaixo de $15$. O que te pedem — «durante quanto tempo» — é a amplitude desse intervalo, ou seja a diferença entre os dois instantes em que $C$ vale $15$.

3.º — o que se põe na calculadora

Introduz duas funções: $y_1=125\left(e^{-0,2x}-e^{-x}\right)$ e a reta horizontal $y_2=15$. Os pontos relevantes são os dois pontos de intersecção dos dois gráficos: é aí que a concentração vale exactamente $15$, e entre eles vale mais.

Escolhe uma janela que respeite o domínio $t>0$ — por exemplo $x\in [0,15]$ e $y\in [0,40]$. Desenha o referencial com os eixos identificados ($t$ e $C$), marca o gráfico de $C$, a reta $y=15$ e assinala os dois pontos de intersecção: o enunciado pede-o explicitamente, e o desenho vale 4 pontos mais 1 pelos pontos assinalados.

4.º — ler as abcissas com as milésimas

Com a função de intersecção da calculadora obtens

Estas são as coordenadas relevantes arredondadas às milésimas que o enunciado manda apresentar. Escreve-as na folha: são uma etapa pontuada por si.

5.º — a amplitude

converter a parte decimal em minutos

O resultado tem de sair em horas e minutos. A parte inteira já são $10$ horas; a parte decimal converte-se multiplicando por $60$:

com os minutos arredondados às unidades, como o enunciado exige. Logo, o paracetamol produz efeito terapêutico significativo durante $10$ horas e $26$ minutos.

confere o sentido do resultado

Substitui na expressão: para $t=5$ (bem dentro do intervalo) obténs $125\left(e^{-1}-e^{-5}\right)\approx 45$, que é muito maior do que $15$ — o intervalo está do lado certo. E para $t=12$ (já fora) obténs $\approx 11$, abaixo de $15$. As duas leituras confirmam que $]0,166;10,600[$ é mesmo o intervalo onde a condição se verifica.

onde é que este item se perde

– Não apresentar condição nenhuma: a nota 1 do critério é taxativa — essa etapa fica a $0$ pontos, e as restantes só contam se for inequívoco que correspondem à condição correcta.

– Não desenhar referencial: a etapa do gráfico é desvalorizada em $1$ ponto (nota 2). Um esboço solto, sem eixos, custa dinheiro.

– Não respeitar o domínio no desenho (deixar o gráfico entrar em $t\le 0$): mais $1$ ponto desvalorizado (nota 3).

– Arredondar as abcissas a menos casas ($0,17$ e $10,6$): o enunciado pede milésimas.

– Responder $10,434$ horas e parar: falta a conversão, e o enunciado pede horas e minutos.

– Escrever $0,434$ minutos em vez de multiplicar por $60$: confundir a parte decimal de uma hora com minutos é o erro mais frequente deste tipo de item.

– Arredondar a amplitude antes do fim: usa $0,166$ e $10,600$ com as milésimas e só arredonda no último passo.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que o enunciado fixa um limiar («superior a», «pelo menos», «acima de») e pergunta durante quanto tempo, a resposta é a amplitude de um intervalo, não um instante: condição com desigualdade $\to$ gráfico da função e da recta horizontal do limiar $\to$ duas abcissas $\to$ diferença.