Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 10, resolvido

Os pontos de intersecção de dois gráficos são os pontos em que as duas funções tomam o mesmo valor para o mesmo objecto. Portanto as abcissas são as soluções de $f(x)=g(x)$ no domínio dado, e as ordenadas obtêm-se substituindo em qualquer uma das funções. O item é sem calculadora: a equação tem de sair por manipulação trigonométrica exacta.

1.º — escrever a equação

2.º — passar tudo para um membro e factorizar — nunca dividir

Porquê factorizar em vez de dividir por $\mathrm{sen}x$: dividir por uma expressão que pode anular-se faz perder soluções. Aqui o domínio é $\left]0,\pi \right[$, onde de facto $\mathrm{sen}x\ne 0$, mas factorizar é sempre seguro e a lei do anulamento do produto dá-te as duas hipóteses de uma vez. Esta é a etapa que o critério pontua com 2 pontos.

3.º — a lei do anulamento do produto

Um produto é nulo quando um dos factores é nulo:

E reconhece a fórmula do cosseno do dobro: como $\cos (2x)={\cos }^{2}x-{\mathrm{sen}}^{2}x$, o segundo factor é $-\cos (2x)$. Portanto

4.º — resolver cada equação e cortar pelo domínio

Primeira equação. $\mathrm{sen}x=0\iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. No intervalo aberto $\left]0,\pi \right[$ não há nenhuma destas soluções — os extremos $0$ e $\pi$ estão excluídos. Esta equação não dá soluções.

Segunda equação. $\cos (2x)=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Percorre os valores de $k$ e fica só com os que caem em $\left]0,\pi \right[$:

Logo $x=\frac{\pi }{4}\vee x=\frac{3\pi }{4}$. É a etapa mais cotada do item: 4 pontos.

5.º — as ordenadas

Substitui em $f$, que é a mais simples. Como $\mathrm{sen}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

E como $\mathrm{sen}\frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ também (os dois ângulos são suplementares e o seno de ângulos suplementares é igual),

Os dois pontos têm a mesma ordenada — não é engano.

apresentar o pedido

O item pede coordenadas, logo a resposta são pares ordenados, não apenas os valores de $x$:

Com o radical racionalizado e a fração simplificada: $\frac{2\sqrt{2}}{8}$ reduz-se a $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

pelo 2.º processo do critério, com a fórmula fundamental

Se não te ocorrer o cosseno do dobro, usa a fórmula fundamental da trigonometria. A partir de $\mathrm{sen}x\left({\mathrm{sen}}^{2}x-{\cos }^{2}x\right)=0$ e de ${\cos }^{2}x=1-{\mathrm{sen}}^{2}x$:

Em $\left]0,\pi \right[$ o seno é positivo, portanto $\mathrm{sen}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ é impossível e fica $\mathrm{sen}x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, isto é, $x=\frac{\pi }{4}$ ou $x=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$. Mesmas soluções, mesma cotação no critério.

confirma num dos pontos

Em $x=\frac{\pi }{4}$ tem-se $\mathrm{sen}x=\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, logo $f(x)={\mathrm{sen}}^{3}x$ e $g(x)=\mathrm{sen}x{\cos }^{2}x$ têm os mesmos três factores — são iguais, e valem $\frac{\sqrt{2}}{4}$. Em $x=\frac{3\pi }{4}$, $\mathrm{sen}x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$; o cosseno aparece ao quadrado, portanto o sinal desaparece e a igualdade mantém-se.

onde é que este item se perde

– Dividir ambos os membros por $\mathrm{sen}x$ sem discutir se se anula: aqui não custa soluções por causa do domínio, mas é um hábito que noutro intervalo as faz perder. Factoriza.

– Esquecer o $+k\pi$ ao resolver $\cos (2x)=0$ e apresentar só $x=\frac{\pi }{4}$: perdes metade da resposta, e é a etapa de 4 pontos.

– Resolver em $2x$ e esquecer de dividir por $2$: de $2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ tem de sair $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ — o passo de $k\pi$ também se divide.

– Não cortar pelo domínio: $\left]0,\pi \right[$ é aberto; soluções como $x=\frac{5\pi }{4}$ ou $x=0$ não servem.

– Trocar o sinal na fórmula do dobro: é $\cos (2x)={\cos }^{2}x-{\mathrm{sen}}^{2}x$, e o factor da equação é ${\mathrm{sen}}^{2}x-{\cos }^{2}x$, ou seja $-\cos (2x)$. Como se iguala a zero, o sinal não altera as soluções — mas convém dizê-lo.

– Responder só com as abcissas: pedem-se coordenadas dos pontos, portanto pares ordenados.

– Deixar $\frac{2\sqrt{2}}{8}$ por simplificar.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Numa equação trigonométrica com um factor comum, factoriza sempre em vez de dividir, e depois pergunta-te se o que sobra é uma das fórmulas conhecidas — ${\mathrm{sen}}^{2}x-{\cos }^{2}x$ é o cosseno do dobro com o sinal trocado, e a fórmula fundamental resolve-a na mesma. No fim, o domínio é o filtro: a família de soluções vem sempre com $k\in \mathbb{Z}$, e só ficam as que lá cabem.