Exame de Matemática A 2025 · Época especial — item 6.2, resolvido

O item pede um volume, e para um prisma reto de bases quadradas isso é sempre a mesma coisa: $V={\text{aresta da base}}^2\times \text{aresta lateral}$ . Tens, portanto, dois números para descobrir — o lado do quadrado e a altura — e todos os dados do enunciado servem para um ou para o outro. Como o item proíbe a calculadora, toda a conta tem de ser exacta.

Fixa antes de mais a correspondência entre os dois quadrados do prisma $[ABCDEFGH]$ , que é o que a figura mostra: $[ABCD]$ e $[EFGH]$ são as bases, e as arestas laterais ligam $A$ a $F$ , $B$ a $G$ , $C$ a $H$ e $D$ a $E$ .

o que cada dado te dá

A base $[ABCD]$ está contida no plano $x=3$ . Como o prisma é reto, as arestas laterais são perpendiculares às bases, ou seja, perpendiculares ao plano $x=3$ — logo têm a direção do vetor $(1,0,0)$ , a direção do eixo $Ox$ . Numa aresta lateral só muda a abcissa.

$F(-9,0,2)$ . Sendo $F$ um vértice da outra base, essa base está contida no plano $x=-9$ .

O plano $CDE$ tem equação $5y+2z-62=0$ . Contém os vértices $C$ e $D$ da base de baixo e o vértice $E$ da de cima: é a face lateral do prisma que assenta na aresta $[CD]$ . O seu vetor normal é $\vec{n}=(0,5,2)$ — lê-se directamente dos coeficientes de $x$ , $y$ e $z$ , e o coeficiente de $x$ é $0$ , o que confirma que o plano é paralelo ao eixo $Ox$ , como tem de ser numa face lateral.

1.º — a altura do prisma sai de imediato

A aresta lateral $[AF]$ liga a base em $x=3$ à base em $x=-9$ e é perpendicular às duas. Só a abcissa muda, portanto:

Esta é a altura do prisma e vale $2$ pontos como etapa autónoma. Escreve-a mesmo antes de saberes o lado da base.

2.º — porque é que $EF$ é perpendicular ao plano $CDE$

Este é o passo que abre o item, e é geometria pura, sem contas.

A face $[CDEH]$ está no plano $CDE$ e é um retângulo cujos lados são a aresta $[DE]$ (lateral) e a aresta $[CD]$ (da base). A aresta $[EF]$ é um lado do quadrado $[EFGH]$ e encontra $[DE]$ e $[HE]$ no vértice $E$ .

Ora, $[EF]$ é perpendicular à aresta lateral $[DE]$ (porque o prisma é reto, as arestas laterais são perpendiculares às bases e $[EF]$ está numa base) e é perpendicular a $[EH]$ (porque $[EFGH]$ é um quadrado e $[EF]$ e $[EH]$ são lados consecutivos). Como $[DE]$ e $[EH]$ são duas retas concorrentes do plano $CDE$ , a reta $EF$ é perpendicular a esse plano.

Daqui vem tudo: o normal do plano é vetor diretor da reta $EF$ . Logo $(0,5,2)$ é vetor diretor de $EF$ , e as duas primeiras etapas do critério ($1+1$ pontos) ficam garantidas.

3.º — encontrar $E$ com uma equação vetorial

A reta $EF$ passa por $F(-9,0,2)$ e tem a direção $(0,5,2)$ :

Os pontos desta reta são, portanto, da forma $(-9,5k,2+2k)$ . Repara que a abcissa é sempre $-9$ , o que confirma que a reta vive no plano da base de cima.

Agora usas a única informação que falta: $E$ pertence ao plano $CDE$ . Substitui na equação do plano:

Com $k=2$ : $E(-9,5\times 2,2+2\times 2)=E(-9,10,6)$ .

4.º — o lado do quadrado

$[EF]$ é um lado da base $[EFGH]$ , por isso o seu comprimento é o lado do quadrado:

Não simplifiques para decimais: $\sqrt{116}=2\sqrt{29}$ é irracional, e é justamente por isso que o item se resolve bem sem calculadora — o quadrado que vais precisar volta a dar um inteiro.

Atalho que poupa trabalho: como $E-F=2\times (0,5,2)$ , tens $\overline{EF}=2\times \Vert (0,5,2)\Vert =2\sqrt{29}$ , e ${\left(2\sqrt{29}\right)}^2=4\times 29=116$ .

5.º — juntar tudo no volume

A área da base é o quadrado do lado, e o quadrado de uma raiz desfaz a raiz — a razão pela qual nunca precisaste de um valor aproximado:

O volume do prisma é $1392$ (unidades de volume).

os números batem certo entre si?

O lado da base é $\sqrt{116}\approx 10,8$ e a altura é $12$ — o prisma é ligeiramente mais alto do que largo, exactamente como a figura sugere. E $1392$ está entre $10^2\times 12=1200$ e $11^2\times 12=1452$ , como tem de estar.

Podes ainda confirmar que $E$ está mesmo no plano: $5\times 10+2\times 6-62=50+12-62=0$ .

o que se escreve na folha

Escreve o valor exacto, $1392$ , sem arredondamentos e sem raízes por simplificar. O enunciado não dá unidade de comprimento, por isso a resposta é um número puro (ou «$1392$ unidades de volume»).

onde se perdem pontos neste item

• Não justificar a perpendicularidade de $EF$ ao plano $CDE$. É a primeira etapa do critério e é a chave do processo inteiro: sem ela não podes usar $(0,5,2)$ como vetor diretor.
• Usar $(0,5,2)$ como vetor diretor da aresta lateral. Não é: a aresta lateral tem direção $(1,0,0)$ . Confundir as duas direções estraga a altura e a base ao mesmo tempo.
• Errar a correspondência entre vértices. No prisma $[ABCDEFGH]$ as arestas laterais são $[AF]$ , $[BG]$ , $[CH]$ e $[DE]$ . Quem toma $[AE]$ por aresta lateral procura $E$ no sítio errado e não consegue fechar o item.
• Esquecer que a altura é a distância entre os planos $x=3$ e $x=-9$ , que dá $12$ e não $9$ nem $3$ . O sinal negativo da abcissa de $F$ é o que faz a diferença.
• Recorrer à calculadora. O item proíbe-a explicitamente: pelos critérios do IAVE, a etapa em que a instrução não é respeitada e todas as que dela dependam são pontuadas com zero. Trabalha com $\sqrt{116}$ até ao fim, nunca com $10,77\dots$
• Arredondar $\sqrt{116}$ e depois elevar ao quadrado. Dá $116,0\dots$ e um volume que já não é $1392$ exacto.
• Parar em $E(-9,10,6)$ . Encontrar $E$ é meio caminho; faltam a aresta, a altura e o produto final.