Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 2.2, resolvido

Este item cruza duas coisas que costumam viver separadas: derivada como declive da tangente e geometria analítica. O que o segura é uma ideia só — o triângulo $[AOB]$ tem um vértice na origem e outro em cima do eixo $Oy$ , logo tem um lado assente no eixo $Oy$ , e é esse lado que convém escolher para base.

Vê o que já sabes e o que te falta: sabes $A(e,2)$ e $O(0,0)$ ; de $B$ sabes apenas que está no eixo $Oy$ , logo é da forma $B(0,y_B)$ . Todo o trabalho é descobrir $y_B$, e o caminho para lá passa pela derivada.

escolher a base certa do triângulo

Com $[OB]$ como base — um segmento vertical, contido no eixo $Oy$ — o comprimento é $\overline{OB}=|y_B|$ e a altura é a distância de $A$ a esse eixo, que é simplesmente $|x_A|=e$ .

Escrever esta fórmula, antes de saber $y_B$ , já vale 2 pontos no critério. Escreve-a logo: é a etapa que organiza o resto.

Se em vez disso escolhesses $[OA]$ para base, tinhas de calcular um comprimento com raiz e uma distância de ponto a reta — muito mais trabalho para o mesmo número.

1.º — o declive de $r$ é a derivada no ponto de tangência

$r$ é tangente ao gráfico de $f$ no ponto $A$ , de abcissa $e$ . A interpretação geométrica da derivada diz que o declive dessa tangente é $f^{\prime }(e)$ .

Dizer isto vale 2 pontos por si — é uma etapa, não um comentário.

Repara no que isto tem de confortável: não precisas de conhecer $f$ , nem de usar a ordenada $2$ do ponto $A$ para nada além da posição. O enunciado deu-te $f^{\prime }$ , que é exactamente o que te faz falta.

2.º — calcular $f^{\prime }(e)$

E $\ln e=1$ , porque $e^1=e$ .

Etapa de 1 ponto. É curta, mas é aqui que se estraga o item todo se trocares $\ln e$ por outra coisa.

3.º — de $r$ para $s$ — a condição de perpendicularidade

Em referencial ortonormado, duas retas não verticais são perpendiculares quando o produto dos declives é $-1$ :

Com $m_r=\frac{3}{e}$ :

Inverter uma fração é trocar numerador com denominador — e o sinal menos fica à frente. Etapa de 2 pontos.

4.º — escrever a equação de $s$ e usar o ponto que te deram

A reta $s$ tem declive $-\frac{e}{3}$ e corta o eixo $Oy$ em $B(0,y_B)$ , portanto a sua ordenada na origem é $y_B$ :

Escrever esta equação vale 2 pontos. Agora usa-se a única informação que ainda não foi gasta: $s$ intersecta o eixo $Ox$ no ponto de abcissa $-3$ , ou seja, passa em $(-3,0)$ .

Substituir vale mais 2 pontos. E simplifica-se de imediato, porque $-\frac{e}{3}\times (-3)=e$ :

Etapa de 1 ponto. O sinal negativo faz sentido: a reta desce (declive negativo) e corta o eixo $Ox$ à esquerda da origem, por isso quando chega ao eixo $Oy$ já está abaixo dele.

5.º — fechar a conta da área

$\overline{OB}=|y_B|=|-e|=e$ , e a altura é $x_A=e$ :

Etapa final de 2 pontos.

pelo triângulo rectângulo de catetos conhecidos

Há uma leitura ainda mais directa. Os pontos são $O(0,0)$ , $B(0,-e)$ e $A(e,2)$ . Os vectores $\overrightarrow{OB}=(0,-e)$ e a horizontal até $A$ dão um triângulo em que podes usar a fórmula do determinante:

Dá o mesmo, e serve de confirmação. Nas etapas do critério, porém, o que é pontuado é o caminho da base e da altura — por isso apresenta esse, e usa este só para conferir.

o valor exacto, não a aproximação

O enunciado não pede aproximação, e as instruções gerais da prova dizem que, nesse caso, se apresenta sempre o valor exacto. A resposta é $\frac{e^2}{2}$ — não $3,69$ .

os sinais batem certo

$e\approx 2,72$ , logo $B\approx (0;-2,72)$ e $A\approx (2,72;2)$ . O triângulo tem base $\approx 2,72$ e altura $\approx 2,72$ , área $\approx 3,7$ — e $\frac{e^2}{2}\approx 3,69$ . Confere.

onde é que se perdem pontos

• Usar a ordenada de $A$ como altura. A altura relativa à base $[OB]$ é a distância horizontal de $A$ ao eixo $Oy$ , que é $x_A=e$ — não $y_A=2$ . Quem troca obtém $e$ em vez de $\frac{e^2}{2}$ .
• Esquecer o módulo em $\overline{OB}$. $y_B=-e$ é negativo; o comprimento é $e$ . Uma área negativa denuncia-se sozinha.
• Errar $\ln e$. Se escreveres $\ln e=0$ sai $f^{\prime }(e)=\frac{1}{e}$ e todo o resto colapsa.
• Inverter mal o declive: escrever $m_s=-\frac{3}{e}$ (só trocou o sinal, não inverteu) ou $m_s=\frac{e}{3}$ (inverteu, mas esqueceu o sinal).
• Trocar o ponto de $s$: usar $(0,-3)$ em vez de $(-3,0)$ . «Intersecta o eixo $Ox$ no ponto de abcissa $-3$» quer dizer que a ordenada aí é zero.
• Errar o sinal em $-\frac{e}{3}\times (-3)$ e obter $y_B=e$ . Menos vezes menos dá mais.
• Dar a resposta aproximada quando o exacto é pedido por omissão.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando um item junta «recta tangente» e «área de um triângulo com vértice na origem», o percurso é quase sempre o mesmo: declive da tangente $=f^{\prime }(a)$ $\to$ perpendicularidade dá $-\frac{1}{m}$ $\to$ equação reduzida da segunda recta $\to$ usar o ponto conhecido para achar a ordenada na origem $\to$ base num eixo, altura é a coordenada do outro. E escolhe sempre para base o lado que assenta num eixo: poupa-te uma distância de ponto a recta.