Exame de Matemática A 2026 · 2.ª fase — item 1, resolvido

Cotação 12 pontosEscolha múltiplaVerificado

Enunciado

Instituto de Avaliação Educativa · prova 635 · 2026 · 2.ª fase

Para certos números reais $a$ e $b$ $(a > 1$ e $b > 0)$ , tem-se $lo g_{a} (b^{2}) = 16$ .

Qual é o valor de $lo g_{a} (\frac{a}{b})$ ?

Resolução explicada

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

Este item vive inteiro nas propriedades dos logaritmos. Não há nada para derivar nem para resolver graficamente: há uma informação sobre $lo g_{a} b$ escondida dentro de $lo g_{a} (b^{2})$ , e uma expressão que se parte em duas.

As duas propriedades que governam tudo aqui são:

lo g_{a} (x^{n}) = n lo g_{a} x e lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y

1.º — tirar o expoente de dentro do logaritmo

O dado é $lo g_{a} (b^{2}) = 16$ . O $b$ está elevado ao quadrado dentro do logaritmo, e o expoente sai para a frente como factor:

lo g_{a} (b^{2}) = 16 ⟺ 2 lo g_{a} b = 16 ⟺ lo g_{a} b = \frac{16}{2} = 8

Repara no que se fez: o $2$ multiplica, não eleva. É por isso que se divide $16$ por $2$ e não se extrai a raiz quadrada. Este é o ponto onde o item se ganha ou se perde.

As condições $a > 1$ e $b > 0$ não são decoração: garantem que $lo g_{a} b$ existe e que a base é válida. Sem elas a escrita não fazia sentido.

2.º — partir o logaritmo do quociente

O que se pede é $lo g_{a} (\frac{a}{b})$ . Um logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos:

lo g_{a} (\frac{a}{b}) = lo g_{a} a - lo g_{a} b

E $lo g_{a} a = 1$ , sempre — é a pergunta «a que expoente tenho de elevar $a$ para obter $a$ ?».

3.º — substituir e concluir

lo g_{a} (\frac{a}{b}) = 1 - 8 = - 7

A opção correcta é a (A).

um exemplo concreto

Se quiseres ver o número a funcionar, escolhe $a = 2$ . Então $lo g_{2} b = 8$ dá $b = 2^{8} = 256$ , e $\frac{a}{b} = \frac{2}{256} = \frac{1}{128} = 2^{- 7}$ , logo $lo g_{2} (\frac{1}{128}) = - 7$ . Confirma o resultado e mostra porque é que ele é negativo: $\frac{a}{b}$ é um número muito pequeno, menor do que $1$ .

de onde vem cada opção errada

(B) $- 3$ — nasce de confundir $lo g_{a} (b^{2})$ com $(lo g_{a} b)^{2}$ . Quem faz isso escreve $(lo g_{a} b)^{2} = 16$ , tira $lo g_{a} b = 4$ , e obtém $1 - 4 = - 3$ .
(C) $5$ — o mesmo erro do quadrado ( $lo g_{a} b = 4$ ) mais a troca do sinal: $4 + 1 = 5$ .
(D) $9$ — aqui o $lo g_{a} b = 8$ está certo, mas somou-se em vez de subtrair: $1 + 8 = 9$ . É o que sai de tratar $lo g_{a} (\frac{a}{b})$ como se fosse $lo g_{a} (a \times b)$ .

onde é que se perdem pontos

Extrair a raiz em vez de dividir: de $2 lo g_{a} b = 16$ concluir $lo g_{a} b = 4$ . O $2$ é factor, não expoente.
Trocar o sinal do quociente: o logaritmo de um quociente é a diferença, e a ordem importa — é $lo g_{a} a - lo g_{a} b$ , não o contrário.
Esquecer que $lo g_{a} a = 1$ e deixar a resposta em função de $a$ . Num item de escolha múltipla isso deixa-te sem opção para assinalar.
Estranhar o resultado negativo e assinalar uma opção positiva «porque um logaritmo não pode ser negativo». Pode: o que não pode ser negativo é o argumento.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que te dão um logaritmo com o argumento elevado a uma potência e te pedem outro logaritmo na mesma base, o caminho é fixo: baixar o expoente para factor $\to$ isolar o logaritmo simples $\to$ partir a expressão pedida em soma/diferença. E memoriza os dois valores que aparecem sem se calcular: $lo g_{a} a = 1$ e $lo g_{a} 1 = 0$ .

Tenta primeiro no papel.

Quem lê a resolução antes de tentar acha que percebeu — e volta a errar no exame.

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

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