Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 3.2, resolvido

O que governa este item. A reta já te é dada, e o verbo é «Mostre». Isso muda a estratégia: não tens de descobrir a assíntota com $m=\lim \frac{f(x)}{x}$ e $b=\lim (f(x)-mx)$ — tens de verificar que a que te deram serve. E a definição diz que $y=x-1$ é assíntota ao gráfico de $f$ quando $x\to +\infty$ se e só se

que se lê assim: a distância vertical entre a curva e a reta esmorece para zero à medida que avanças para a direita. Escrever esta condição vale $5$ dos $14$ pontos — é a etapa mais bem paga do item, e ocupa uma linha.

qual é o ramo em jogo

$x\to +\infty$ significa $x$ arbitrariamente grande e, portanto, positivo. O ramo que manda é o de $x>0$:

Os outros dois ramos não têm papel nenhum aqui. Dizê-lo em vez de o pressupor custa meia linha e evita o erro que arruína o item inteiro.

1.º — juntar tudo numa fracção só

Repara que $-x+1=-(x-1)$ e que $(x-1)(x+1)=x^2-1$. Pondo o mesmo denominador:

Este é o passo que faz o item. Os dois $x^2$ cancelam-se — e é precisamente esse cancelamento que revela por que razão o declive é $1$. O que sobra é um logaritmo sobre um polinómio de grau $1$: ainda é uma indeterminação $\frac{\infty }{\infty }$, mas de um tipo que tens no formulário.

2.º — separar em duas parcelas

Separar a soma só é legítimo porque ambos os limites existem e são finitos — e vais confirmá-lo já a seguir. A segunda parcela é imediata: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x+1}=0$. A separação vale $2$ pontos.

3.º — mudança de variável para o limite notável

O formulário dá-te

que diz que o logaritmo cresce mais devagar do que $x$. Para o usares, precisas do mesmo objecto dentro do logaritmo e no denominador. Faz $y=ex+e=e(x+1)$; daí $x+1=\frac{y}{e}$ e, quando $x\to +\infty$, também $y\to +\infty$:

Esta etapa vale $3$ pontos. O factor $e$ aparece por causa de $x+1=\frac{y}{e}$ — escreve-o, mesmo sabendo que acaba multiplicado por $0$; é a passagem que o classificador procura.

Há um caminho equivalente, se preferires não mudar de variável tão cedo: como $ex+e=e(x+1)$, tens $\ln (ex+e)=\ln e+\ln (x+1)=1+\ln (x+1)$, e então $\frac{\ln (ex+e)}{x+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{\ln (x+1)}{x+1}$, onde a segunda parcela pede a mudança $y=x+1$.

4.º — concluir

Logo a reta de equação $y=x-1$ é assíntota ao gráfico da função $f$ quando $x\to +\infty$, como se pretendia mostrar.

pelo cálculo de $m$ e de $b$

O critério aceita o processo clássico, que descobre a reta em vez de a verificar. É mais longo, mas dá a cotação toda — e é o que tens de usar quando a assíntota não te é dada.

Declive:

A primeira parcela vale $1$ (dois polinómios de grau $2$ com o mesmo coeficiente principal). A segunda escreve-se como $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}\times \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (ex+e)}{x+1}=0\times 0=0$. Logo $m=1$.

Ordenada na origem:

A assíntota é $y=mx+b=x-1$, que é exactamente a reta do enunciado. Neste processo a conclusão também tem de ser escrita.

faz sentido?

Para $x$ muito grande, o logaritmo é desprezável ao lado de $x^2$, e a divisão dá $\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$ — uma reta de declive $1$ e ordenada na origem $-1$, mais um resto que tende para $0$. Confere com um valor grande: em $x=100$,

e a reta dá $100-1=99$. A diferença já é $0,07$, e continua a encolher à medida que $x$ cresce.

onde se perdem pontos

• Não enunciar o que se vai provar ($5$ pontos, a maior fatia do item). Começar logo a calcular sem escrever $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-(x-1))=0$ custa mais do que qualquer erro de conta que venha a seguir.
• Usar o ramo errado. $x\to +\infty$ obriga ao ramo de $x>0$. Quem pega em $\frac{1-e^{-x}}{x}$ perde o item inteiro, por muito bem feito que o resto esteja.
• Errar o sinal ao juntar as fracções. É $-(x-1)(x+1)=-x^2+1$, e é o $+1$ que fica a fazer companhia ao logaritmo. Um sinal trocado altera a expressão que o critério procura nessa etapa.
• Aplicar $\frac{\ln x}{x}\to 0$ sem mudança de variável. $\frac{\ln (ex+e)}{x+1}$ não está na forma do limite notável: dentro do logaritmo está $e(x+1)$ e em baixo está $x+1$. Ou fazes $y=ex+e$, ou desdobras $\ln (ex+e)=1+\ln (x+1)$ e fazes $y=x+1$. Sem um dos dois, perdes $3$ pontos.
• Separar a soma de limites sem que ambos existam. Aqui existem e são finitos, mas a regra não é automática — escreve os dois valores.
• Não concluir com a frase. O item diz «Mostre que», e uma demonstração fecha-se a afirmar o que ficou provado.

como reconhecer o próximo item deste tipo

Duas perguntas diferentes pedem contas diferentes. Se o enunciado dá a reta e pede «mostre que é assíntota», provas $\lim (f(x)-(mx+b))=0$ — um limite só. Se o enunciado pede «determine a assíntota», calculas $m$ e depois $b$ — dois limites. E quando aparece um logaritmo a dividir por um polinómio, o reflexo é sempre o mesmo: iguala o que está dentro do logaritmo ao que está no denominador, por mudança de variável ou por $\ln (ab)=\ln a+\ln b$, para poderes invocar $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$.