Exame de Matemática A 2025 · 2.ª fase — item 10.3, resolvido

Cotação 14 pontosResposta abertaVerificado

Enunciado

Instituto de Avaliação Educativa · prova 635 · 2025 · 2.ª fase

10.

Na Figura 3, está representada, em referencial o.n. $O x y z$ , a pirâmide regular de base quadrada $[A B C D]$ e vértice $V$ .

Figura 3 — pirâmide regular de base quadrada [ABCD] e vértice V, desenhada em referencial o.n. Oxyz. A base aparece inclinada no espaço, com C e B no topo e D e A em baixo; o vértice V fica à esquerda. Os eixos z (vertical), y (para a direita) e x (para a frente, à esquerda) estão assinalados. — Figura 3

Sabe-se que:

$\overline{A B} = 6$ ;
o centro da base da pirâmide, $M$ , tem coordenadas $(2, - 1, 3)$ ;
o ponto $V$ tem abcissa positiva;
o plano $A B C$ é definido pela equação $2 x - y + z - 8 = 0$ ;
o volume da pirâmide é $46$ .

10.3.

Pretende-se pintar as cinco faces da pirâmide $[A B C D V]$ , dispondo-se, para o efeito, de seis cores distintas.

Todas as condições seguintes deverão ser respeitadas:

cada face é pintada com uma só cor;
são utilizadas, no mínimo, quatro das seis cores disponíveis;
duas faces que tenham uma aresta em comum são pintadas com cores diferentes.

A expressão seguinte representa o número total de formas possíveis de pintar as cinco faces da pirâmide respeitando as condições enunciadas.

^{6} C_{4} \times 2 \times 4! +^{6} A_{5}

Explique, no contexto descrito, cada parcela desta expressão.

Resposta de exame

O que se escreve na prova para ter a cotação toda.

A pirâmide tem cinco faces: a base, $[A B C D]$ , e quatro faces laterais triangulares, $[V A B]$ , $[V B C]$ , $[V C D]$ e $[V D A]$ . A base tem uma aresta em comum com cada uma das quatro faces laterais, e cada face lateral tem uma aresta em comum com as duas faces laterais que lhe são contíguas. As duas faces laterais opostas, $[V A B]$ e $[V C D]$ , têm apenas o vértice $V$ em comum, e o mesmo sucede com $[V B C]$ e $[V D A]$ ; são, portanto, os únicos dois pares de faces que podem ser pintadas com a mesma cor.

Como são utilizadas, no mínimo, quatro das seis cores, há apenas dois casos possíveis: pintar as cinco faces com cinco cores distintas, ou pintar as cinco faces com quatro cores, repetindo-se uma delas num par de faces laterais opostas. Cada parcela da expressão conta um destes casos.

Parcela $^{6} C_{4} \times 2 \times 4!$ — conta as maneiras de pintar as cinco faces usando exactamente quatro cores. Existem $^{6} C_{4}$ maneiras de escolher, de entre as seis cores disponíveis, as quatro cores que vão ser utilizadas, uma vez que a ordem por que são escolhidas é irrelevante. Para cada uma dessas escolhas, existem $2$ maneiras de escolher o par de faces laterais opostas que são pintadas com a mesma cor, por serem dois os pares de faces sem aresta comum. Feita essa escolha, restam quatro conjuntos de faces a pintar — a base, o par de faces opostas escolhido e cada uma das duas faces laterais restantes — aos quais há que atribuir as quatro cores escolhidas, uma a cada; como todas as cores são distintas e cada conjunto é distinguível dos restantes, existem $4!$ maneiras de o fazer.

Parcela $^{6} A_{5}$ — conta as maneiras de pintar as cinco faces com cinco cores todas diferentes. Trata-se de escolher cinco das seis cores disponíveis e de as distribuir pelas cinco faces, sendo cada face distinguível das restantes; como a ordem é relevante, existem $^{6} A_{5}$ maneiras de o fazer. Neste caso, todas as condições ficam automaticamente satisfeitas, porque não há duas faces com a mesma cor.

A soma das duas parcelas dá, assim, o número total de formas possíveis de pintar as cinco faces da pirâmide respeitando as condições enunciadas.

Tenta primeiro no papel.

Quem lê a resolução antes de tentar acha que percebeu — e volta a errar no exame.

Mostra só o que se escreve na prova. A resolução explicada fica fechada — abres depois, se quiseres.

Resolução explicada

Passo a passo, com o porquê de cada passo.

Este item não te pede para contar: pede para explicar uma contagem já feita. É um dos poucos itens do exame em que o texto vale mais do que as contas — e é corrigido por níveis, não por etapas, o que muda completamente a maneira de escrever.

O ponto de partida não é a expressão: é a figura. Antes de olhar para $^{6} C_{4}$ , tens de saber exactamente que faces existem e quais delas se tocam.

o mapa das faces e das vizinhanças

A pirâmide $[A B C D V]$ tem cinco faces:

a base, o quadrado $[A B C D]$ ;
quatro faces laterais triangulares: $[V A B]$ , $[V B C]$ , $[V C D]$ e $[V D A]$ .

Agora a pergunta que decide tudo: quais é que partilham uma aresta?

A base partilha uma aresta com cada uma das quatro laterais (as arestas $[A B]$ , $[B C]$ , $[C D]$ e $[D A]$ ). Logo a cor da base é diferente das quatro.
Cada lateral partilha uma aresta com as duas laterais contíguas (por exemplo, $[V A B]$ partilha $[V B]$ com $[V B C]$ e $[V A]$ com $[V D A]$ ).
$[V A B]$ e $[V C D]$ tocam-se apenas no vértice $V$ . Um vértice não é uma aresta, portanto podem ter a mesma cor. O mesmo para $[V B C]$ e $[V D A]$ .

Conclusão que tens de escrever na folha: há exactamente dois pares de faces opostas que podem repetir cor, e mais nenhum par de faces pode repetir.

1.º — porque é que só há dois casos

As cores usadas são, no mínimo, quatro. E são cinco faces. Logo:

ou as cinco faces têm cores todas diferentes — usam-se 5 cores;
ou há exactamente uma repetição — usam-se 4 cores, e as duas faces repetidas têm de ser um dos dois pares de laterais opostas;
duas repetições dariam apenas 3 cores (os dois pares opostos com uma cor cada, mais a base), o que a condição do mínimo proíbe.

Dois casos, duas parcelas. É por isso que a expressão é uma soma, e dizê-lo faz parte de uma boa resposta: são casos que se excluem mutuamente, logo aplica-se a regra da soma.

2.º — explicar $^{6} C_{4} \times 2 \times 4!$ — o caso das quatro cores

Segue a expressão factor a factor, pela ordem em que está escrita.

$^{6} C_{4}$ — escolher quais são as quatro cores, de entre as seis disponíveis. É uma combinação e não um arranjo porque, nesta fase, só se está a decidir o conjunto de cores que vai ser usado; ainda não se decidiu que cor vai a que face. A ordem por que se escolhem é irrelevante.

$\times 2$ — escolher qual dos dois pares de faces laterais opostas fica com a cor repetida: ou ${[V A B], [V C D]}$ , ou ${[V B C], [V D A]}$ . São dois, e só dois, porque são os únicos pares de faces sem aresta comum.

$\times 4!$ — feita a escolha anterior, sobram quatro conjuntos de faces a pintar, cada um com a sua cor: a base, o par escolhido (que conta como um só, porque leva uma cor só), e cada uma das duas laterais restantes. Tens quatro cores para quatro conjuntos, uma cor para cada: é uma permutação das quatro cores pelos quatro conjuntos, logo $4!$ maneiras. Podes escrevê-lo também como $^{4} A_{4}$ ou $P_{4}$ — é o mesmo número.

E as condições ficam todas cumpridas: as quatro cores são distintas entre si, portanto a base difere de todas as laterais, e as duas laterais restantes diferem uma da outra e do par.

$\times$ , e não $+$ — os três factores multiplicam-se porque são escolhas sucessivas e independentes: por cada escolha de cores, há 2 escolhas de par; por cada uma dessas, há $4!$ atribuições. É o princípio fundamental da contagem.

3.º — explicar $^{6} A_{5}$ — o caso das cinco cores

Aqui as cinco faces levam cores todas diferentes. Há que escolher cinco das seis cores e distribuí-las pelas cinco faces.

É um arranjo e não uma combinação porque as faces são distinguíveis umas das outras — a base não é uma lateral, e cada lateral é identificada pelos vértices que a delimitam. Trocar duas cores entre duas faces dá uma pintura diferente, logo a ordem conta.

$^{6} A_{5} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2$ : seis hipóteses de cor para a primeira face, cinco para a segunda, e assim por diante.

Neste caso não é preciso verificar nenhuma condição sobre arestas: como não há duas faces com a mesma cor, a condição de as faces adjacentes serem diferentes está automaticamente satisfeita. Diz isso — é o que mostra que percebeste a estrutura e não apenas a fórmula.

o que é que «de forma completa» quer dizer aqui

Uma explicação completa de uma parcela identifica o que cada factor conta no contexto das faces da pirâmide, e não em abstracto. « $^{6} C_{4}$ são as combinações de 6 elementos 4 a 4» não explica nada: é a definição do símbolo. « $^{6} C_{4}$ é o número de maneiras de escolher, de entre as seis cores, as quatro que vão ser usadas» explica.

E usa os nomes certos: faces, arestas, faces opostas, base, cores, escolher, distribuir. O parâmetro B da grelha (2 pontos) paga exactamente isso.

como é que este item é corrigido

Não há etapas nem cotações parcelares: há duas grelhas, que somam.

Parâmetro A — Conteúdos (até 12 pontos). Escolhe-se um nível, e só um:

nível 4 — 12 pontos: as duas explicações completas;
nível 3 — 9 pontos: uma completa e a outra incompleta;
nível 2 — 6 pontos: só uma, mas completa; ou as duas, ambas incompletas;
nível 1 — 3 pontos: só uma, e incompleta.

Parâmetro B — Linguagem Científica (até 2 pontos): 2 se o vocabulário matemático estiver bem usado, 1 se houver uma ou mais falhas.

Lê a escada do parâmetro A com atenção, porque ela diz-te a estratégia: explicar as duas parcelas, ainda que ambas de forma imperfeita, vale 6 pontos; explicar só uma, na perfeição, vale os mesmos 6. E explicar as duas bem vale 12. Nunca deixes uma parcela por comentar para aperfeiçoar a outra — a primeira linha sobre a segunda parcela vale mais do que a quinta linha sobre a primeira.

onde é que este item come pontos

Traduzir os símbolos em vez de os explicar. Dizer o que é uma combinação ou um arranjo, sem os ligar às faces e às cores, é considerado incompleto.
Explicar só uma das parcelas. É o erro mais caro, e é quase sempre por gestão de tempo: corta metade da cotação do parâmetro A.
Não justificar o $\times 2$ . É o factor que mais se despacha com um «e depois há duas hipóteses», sem dizer porquê — porque são dois os pares de faces sem aresta comum. Sem isso, a explicação da primeira parcela fica incompleta.
Esquecer que a base entra no $4!$ . Muita gente conta $4!$ como sendo as quatro faces laterais e esquece-se de que uma das laterais partilha cor com a oposta e que a base é uma das quatro entidades a pintar.
Confundir combinação com arranjo. Na escolha do conjunto de cores a ordem não conta ( $C$ ); na atribuição às faces conta ( $A$ ou $!$ ). É a distinção que o item mede.
Não dizer porque é que os casos são só dois. Justificar que três cores violariam o mínimo é o que fecha o raciocínio.
Escrever em símbolos e não em frases. É um item de explicação: se a resposta for só uma sequência de expressões, o parâmetro B cai e o A também.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Quando o exame te dá a expressão já feita e pede para a explicares, a resposta escreve-se da expressão para o contexto, factor a factor, pela ordem em que aparecem, e cada factor responde a uma pergunta de uma só linha: o que é que estou a escolher aqui, de entre o quê, e a ordem interessa? A soma corresponde sempre a casos que se excluem; o produto corresponde sempre a escolhas sucessivas. Diz as duas coisas em voz alta e a explicação sai quase sozinha.

Primeiro, a resposta de exame.

A resolução explicada abre-se depois, à parte, se quiseres perceber o porquê.

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