Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 6.1, resolvido

O que governa este item é o princípio fundamental da contagem: quando uma escolha se decompõe em decisões independentes umas das outras, o número total de resultados é o produto do número de hipóteses de cada decisão. Tudo o que tens a fazer é partir o problema em decisões que não se estorvem, e contar cada uma.

A regra prática, que vale sempre neste tipo de item: trata primeiro as pessoas com restrições e só depois as livres. Se começares pelos alunos sem condição nenhuma, ficas sem saber quantas cadeiras sobram para os condicionados.

numerar a fila e traduzir as palavras em cadeiras

A fila tem $9$ cadeiras. Numera-as de $1$ a $9$ .

• «as três cadeiras centrais» — numa fila ímpar de $9$ , a cadeira do meio é a $5$ ; as três centrais são, portanto, a $4$ , a $5$ e a $6$ . Repara que é um conjunto de cadeiras fixo: o enunciado não diz «três cadeiras seguidas», diz «as três cadeiras centrais». Não há nada para escolher aqui.
• «numa das extremidades da fila» — as extremidades são a cadeira $1$ e a cadeira $9$ . São duas.

1.º — sentar a Vânia — a decisão mais apertada

A Vânia só pode ficar na cadeira $1$ ou na cadeira $9$ :

Nota que estas duas cadeiras não pertencem ao bloco central $\{4,5,6\}$ , logo esta decisão não rouba lugar à Susana, ao Tomás e ao Xavier. É por isso que as decisões são independentes e se podem multiplicar.

2.º — sentar a Susana, o Tomás e o Xavier nas três cadeiras centrais

São três pessoas para três cadeiras já identificadas. Contar as maneiras de ordenar três objectos por três lugares é contar permutações:

Não te esqueças deste factor. O enunciado diz que ficam «juntos nas três cadeiras centrais», não diz por que ordem — e trocar a Susana com o Tomás dá uma disposição diferente dos nove alunos.

3.º — sentar os restantes cinco alunos

Já colocámos $4$ alunos (a Vânia e o trio) e ocupámos $4$ cadeiras. Sobram $9-4=5$ alunos e $5$ cadeiras, sem restrição nenhuma:

4.º — multiplicar as três decisões

A opção correcta é a (C).

chegar ao mesmo número por outro caminho

Conta o total de disposições sem restrição nenhuma: $9!=362880$ .

Agora impõe as condições como fracções:

• a probabilidade de a Susana, o Tomás e o Xavier ficarem, os três, nas cadeiras $4$ , $5$ e $6$ é $\frac{3!\times 6!}{9!}=\frac{4320}{362880}=\frac{1}{84}$ ;
• dado isso, restam $6$ cadeiras para a Vânia, das quais $2$ são extremidades: $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ .

Bate. Vale a pena guardar este controlo: quando um problema de contagem tem restrições de posição, contar o total e multiplicar pelas fracções correspondentes dá o mesmo resultado e apanha factores esquecidos.

de onde vem cada opção errada

• (A) $240$ — é $2\times 5!=2\times 120$ . Sai de sentar a Vânia ($2$) e os cinco alunos livres ($5!$) e esquecer que o trio se pode ordenar de $3!$ maneiras nas cadeiras centrais. É o erro de tratar «juntos nas três cadeiras centrais» como se a posição de cada um lá dentro estivesse fixada. Repara que $240=\frac{1440}{6}$ : falta exactamente o factor $3!$ .
• (B) $720$ — é $3!\times 5!=6\times 120$ . Aqui o trio foi bem contado, mas esqueceu-se o factor $2$ da Vânia: conta-se como se a extremidade estivesse escolhida à partida (só a cadeira $1$ , por exemplo). $720=\frac{1440}{2}$ .
• (C) $1440$ — a correcta.
• (D) $4320$ — é $3!\times 6!=6\times 720$ , ou seja, o número de disposições em que só se exige que o trio ocupe as três cadeiras centrais, deixando os outros seis alunos (a Vânia incluída) à solta pelas seis cadeiras restantes. É a contagem certa de um problema sem a condição da Vânia. $4320=1440\times 3$ , e o $3$ é precisamente $\frac{6}{2}$ : as seis cadeiras livres a menos as duas permitidas.

o que faz falhar este item

• Não permutar o trio. «Juntos» não quer dizer «por esta ordem». Custa o factor $3!$ e leva à (A).
• Não contar as duas extremidades. «Numa das extremidades» são duas hipóteses, não uma. Leva à (B).
• Ignorar de todo a condição da Vânia. Leva à (D).
• Somar em vez de multiplicar. Decisões que se fazem todas multiplicam-se; só se somam contagens de casos mutuamente exclusivos.
• Contar as cadeiras centrais como uma escolha. Numa fila de $9$ , «as três centrais» são um conjunto determinado — não há ${}^7{A}_1$ posições para um bloco, porque o bloco não desliza.
• Descontar duas vezes o mesmo aluno. Depois de sentar a Vânia e o trio sobram $5$ alunos, não $6$ .

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Em contagem com restrições de posição, escreve sempre a conta como um produto de decisões, por esta ordem: (1) quem tem menos liberdade; (2) quem tem alguma; (3) quem não tem nenhuma. Antes de multiplicar, confirma que nenhuma decisão altera o número de hipóteses das seguintes — se alterar, tens de partir o problema em casos e somá-los. E no fim faz o teste do factor em falta: divide a tua resposta pelas opções e vê se dá $2$ , $3$ ou $6$ ; se der, esqueceste um factor.