Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 6.2, resolvido

O que governa este item é a probabilidade condicionada, e a primeira coisa a fazer é dar nome aos acontecimentos. Sem nomes, os três dados do enunciado ficam a flutuar e é impossível perceber qual deles já é uma condicionada.

traduzir cada linha do enunciado

• «$80\%$ gostam de futebol» $⟶$ $P(F)=0,8$ .
• «$16\%$ gostam de voleibol e não gostam de futebol» $⟶$ é um «e», logo uma intersecção: $P(V\cap \overline{F})=0,16$ . Repara que a percentagem é sobre o total da turma, não sobre um subgrupo.
• «dos que gostam de futebol, $7$ em cada $10$ não gostam de voleibol» $⟶$ o «dos que gostam de futebol» restringe o universo, e isso é exactamente o que uma condicionada é: $P(\overline{V}\mid F)=\frac{7}{10}=0,7$ .

Esta terceira leitura é a que decide o item. Quem escreve $P(\overline{V}\cap F)=0,7$ está a dizer que $70\%$ da turma inteira gosta de futebol e não gosta de voleibol — o que é impossível de reconciliar com o resto, e faz descarrilar tudo o que vem a seguir.

1.º — escrever o que se pede, em símbolos

«a probabilidade de esse aluno não gostar de futebol, sabendo que não gosta de voleibol». O «sabendo que» é a condição:

Esta tradução vale 2 pontos por si, mesmo que não faças mais nada. Escreve-a logo.

2.º — chamar a definição de probabilidade condicionada

Fica claro o que falta: um numerador e um denominador. Nenhum dos dois te é dado; os dois saem dos três dados. A partir daqui o item é só arrumar probabilidades.

3.º — do dado condicionado para uma intersecção

A mesma definição, lida ao contrário, transforma a condicionada que tens numa intersecção:

É a etapa mais cara das contas ($2$ pontos). Em palavras: $56\%$ da turma gosta de futebol e não gosta de voleibol.

4.º — partir cada acontecimento em duas fatias incompatíveis

Daqui para a frente usa-se sempre a mesma ideia: um acontecimento qualquer $X$ parte-se em duas fatias que não se sobrepõem, conforme outro acontecimento $Y$ acontece ou não:

Aplica-a três vezes:

• parte $F$ conforme o voleibol — $0,8=P(V\cap F)+0,56$ , logo

• parte $V$ conforme o futebol — as duas fatias já são conhecidas:

Tens o denominador.

• parte $\overline{V}$ conforme o futebol — $0,6=0,56+P(\overline{V}\cap \overline{F})$ , logo

Tens o numerador. Cada um destes quatro valores ($0,56$ , $0,24$ , $0,4$ , $0,6$ , $0,04$) é uma etapa pontuada no critério — escreve-os todos, um a um, mesmo que os obtenhas de cabeça.

5.º — fechar a conta

a fração irredutível, que é o que é pedido

Multiplica numerador e denominador por $100$ para tirar as vírgulas e só depois simplifica:

O enunciado pede fração irredutível: $\frac{4}{60}$ está certo como valor mas não na forma pedida, e $0,0(6)$ também não. A resposta é $\frac{1}{15}$ .

pela tabela de dupla entrada

O critério aceita um segundo processo, que dispensa quase toda a álgebra e vale os mesmos $14$ pontos. Constrói uma tabela com $F$ e $\overline{F}$ nas linhas e $V$ e $\overline{V}$ nas colunas, e preenche-a com probabilidades (o total é $1$):

Preenche por esta ordem: $P(F)=0,8$ (dado) $\to$ $P(\overline{F})=0,2$ (complementar) $\to$ $P(V\cap \overline{F})=0,16$ (dado) $\to$ $P(\overline{V}\cap F)=0,7\times 0,8=0,56$ (a condicionada) $\to$ e o resto sai por somas de linha e de coluna.

Com a tabela à frente, a resposta lê-se directamente: a condição $\overline{V}$ manda-te para a coluna $\overline{V}$ , cujo total é $0,6$ , e dentro dela interessa a célula $\overline{F}$ , que vale $0,04$ :

Condicionar é escolher uma linha ou uma coluna e voltar a normalizar pelo total dessa linha ou coluna. Se conseguires, faz a tabela mesmo quando resolveres pelo primeiro processo: é um controlo de trinta segundos.

as quatro células fecham?

As quatro probabilidades do interior da tabela têm de somar $1$ : $0,24+0,56+0,16+0,04=1$ . Fecha. E cada total marginal bate: $0,24+0,56=0,8$ , $0,16+0,04=0,2$ , $0,24+0,16=0,4$ , $0,56+0,04=0,6$ .

Confere ainda o bom senso do resultado: dos $60\%$ que não gostam de voleibol, a esmagadora maioria ($56$ em $60$) gosta de futebol, por isso a probabilidade pedida tem de ser pequena. $\frac{1}{15}\approx 0,067$ . É consistente.

o que faz falhar este item

• Ler «dos que gostam de futebol, $7$ em cada $10$» como uma intersecção. É uma condicionada: $P(\overline{V}\mid F)=0,7$ , e daí $P(\overline{V}\cap F)=0,56$ . Quem usa $0,7$ como intersecção estraga toda a tabela.
• Trocar a ordem na condicionada pedida. $P(\overline{F}\mid \overline{V})$ não é $P(\overline{V}\mid \overline{F})$ ; esta última daria $\frac{0,04}{0,2}=0,2$ . A frase «sabendo que não gosta de voleibol» põe $\overline{V}$ depois da barra.
• Confundir $V\cap \overline{F}$ com $\overline{V}\cap F$. São $0,16$ e $0,56$ , valores bem diferentes. Escreve por extenso o que cada um significa antes de o usar.
• Não escrever a definição de condicionada. Vale $1$ ponto isolado e custa nada.
• Não identificar o pedido em símbolos. Vale $2$ pontos que se ganham antes de qualquer conta.
• Parar em $\frac{0,04}{0,6}$ ou em $\frac{4}{60}$ . O enunciado pede fração irredutível.
• Dar a resposta em dízima. $0,0666\dots$ não é a forma pedida, e é uma dízima infinita — arredondá-la seria ainda pior.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que um enunciado de probabilidades misturar percentagens do total com expressões do tipo «dos que…», «entre os que…», «sabendo que…», faz duas coisas antes de calcular o que quer que seja: (1) dá nome a dois acontecimentos e traduz cada linha para $P(\cdot )$ , $P(\cdot \cap \cdot )$ ou $P(\cdot \mid \cdot )$ ; (2) desenha a tabela de dupla entrada $2\times 2$ e preenche-a até fechar. Com a tabela cheia, qualquer pergunta do item — condicionada, união, intersecção — lê-se sem mais álgebra.