Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 1.2, resolvido

O que governa este item. Pedem-te a intersecção de uma reta com um plano. O método é sempre o mesmo e tem três tempos: escrever um ponto genérico da reta (com um parâmetro $k$), obrigá-lo a estar no plano (substituindo na equação do plano), e resolver em $k$. O $k$ que sair devolvido à expressão do ponto genérico dá o ponto pedido.

O que este item tem de próprio é que nem a reta nem o plano te são dados de bandeja: a reta vem da figura (tens de descobrir $A$ e $B$) e o plano vem de uma condição de perpendicularidade. Por isso vale $14$ pontos e não $4$.

descobrir $A$ e $B$ a partir das tangências

Do item anterior já sabes que o centro é $C\left(\frac{1}{2},3,3\right)$ e que o raio é $3$. Os pontos de tangência são as projeções ortogonais do centro sobre cada plano — é essa a propriedade que precisas de invocar.

Projectar sobre o plano $xOy$ (que é $z=0$) significa anular a cota e deixar as outras duas coordenadas como estão:

Projectar sobre o plano $xOz$ (que é $y=0$) significa anular a ordenada:

Cada um destes dois pontos vale $1$ ponto por si só na grelha. Escreve-os explicitamente na folha, mesmo que te pareçam evidentes a partir da figura.

1.º — o vetor $\overrightarrow{AB}$ — a peça que serve para tudo

Este vetor vai fazer dois papéis ao mesmo tempo, e é por perceberes isso que o item se desmonta:

• é vetor diretor da reta $AB$ (porque tem a direcção da reta);
• é vetor normal do plano $\alpha$ (porque $\alpha$ é perpendicular a essa reta).

Reparar que a primeira coordenada é $0$ diz-te já uma coisa útil: todos os pontos da reta $AB$ têm abcissa $\frac{1}{2}$, incluindo o ponto que procuras. Guarda isso para conferir no fim.

2.º — a equação do plano $\alpha$ — $4$ pontos, e sai da definição

Um plano de vetor normal $\vec{n}=(n_1,n_2,n_3)$ tem equação cartesiana $n_{1}x+n_{2}y+n_{3}z+d=0$. É esta a razão pela qual a perpendicularidade é uma prenda: dá-te logo os três coeficientes, sem contas.

Com $\vec{n}=\overrightarrow{AB}=(0,-3,3)$:

Falta o $d$, e quem o dá é o ponto por onde o plano passa, $(4,3,-5)$. Substituis as coordenadas desse ponto na equação — é a única coisa que o ponto serve para fazer:

Esta etapa está dividida em quatro sub-etapas de $1$ ponto cada na grelha: identificar $\overrightarrow{AB}$ como normal, escrever $-3y+3z+d=0$, escrever a substituição, obter $d$. Escreve-as todas, uma por linha — cada linha que saltes é um ponto que não recebes, mesmo que o resultado final esteja certo.

3.º — o ponto genérico da reta $AB$

Uma equação vetorial da reta que passa em $A$ com a direcção de $\overrightarrow{AB}$:

Somando coordenada a coordenada, um ponto qualquer da reta é

Escrever a equação vetorial vale $2$ pontos; reconhecer esta forma do ponto genérico vale outros $2$. Juntos são $4$ dos $14$ — mais do que o cálculo final.

4.º — obrigar o ponto genérico a estar no plano

Este é o coração do método. O ponto de intersecção é o único ponto que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo: está na reta (logo tem a forma acima) e está no plano (logo verifica a equação de $\alpha$). Substituis, portanto, $y=3-3k$ e $z=3k$ em $-3y+3z+24=0$:

Repara que a abcissa não entra na substituição: o coeficiente de $x$ na equação do plano é $0$. Por isso o $\frac{1}{2}$ atravessa o item inteiro sem nunca ser usado numa conta.

5.º — devolver o $k$ ao ponto genérico

O erro mais comum a partir daqui é parar em $k$ e entregar $-\frac{5}{6}$ como resposta. $k$ não é um ponto; é a etiqueta que diz qual dos pontos da reta é o que procuras. Substitui:

três conferências rápidas que não custam nada

1. A abcissa é $\frac{1}{2}$, como tinha de ser (todos os pontos de $AB$ têm essa abcissa).
2. O ponto verifica a equação de $\alpha$: $-3\times \frac{11}{2}+3\times \left(-\frac{5}{2}\right)+24=-\frac{33}{2}-\frac{15}{2}+24=-\frac{48}{2}+24=-24+24=0$ . ✔
3. O sinal de $k$ faz sentido: $k$ é negativo, ou seja, o ponto está do lado de $A$ contrário ao de $B$ — repara na cota, que saiu negativa ($-\frac{5}{2}$), enquanto $A$ tem cota $0$ e $B$ tem cota $3$. O ponto fica fora do segmento $[AB]$, na parte da reta que desce abaixo do plano $xOy$. Nada nisto está errado: pediram a reta, não o segmento.

o 2.º processo — pelo produto escalar, sem escrever o plano

A grelha aceita um segundo caminho, que vale exactamente os mesmos $14$ pontos e dispensa escrever a equação do plano. A ideia: chamando $P$ ao ponto de intersecção e $C(4,3,-5)$ ao ponto por onde o plano passa, ambos estão em $\alpha$, logo o vetor $\overrightarrow{PC}$ está contido no plano. Como a reta $AB$ é perpendicular ao plano, é perpendicular a tudo o que está lá dentro:

Com $P\left(\frac{1}{2},3-3k,3k\right)$:

O mesmo $k$, e daí o mesmo ponto. Qual escolher? Se te sentes seguro com equações cartesianas de planos, o 1.º processo é mais curto de escrever; se não, o 2.º só usa produto escalar, que é matéria mais rodada. O que não podes é misturar os dois a meio — a grelha pontua um processo coerente, não retalhos de ambos.

onde é que este item se perde

• Ler mal as tangências e trocar $A$ com $B$. $A$ está no plano $xOy$ (cota nula), $B$ está no plano $xOz$ (ordenada nula). Trocá-los dá $\overrightarrow{AB}=(0,3,-3)$, com os sinais invertidos. Curiosamente a reta é a mesma e o plano também (um vetor normal simétrico define o mesmo plano), mas o valor de $k$ muda de sinal — e quem não refizer a substituição com cuidado sai com coordenadas erradas.
• Esquecer o $0x$. Como a primeira coordenada do vetor normal é $0$, há quem escreva a equação do plano com duas variáveis e depois, ao substituir o ponto, use o $4$ da abcissa. O $4$ não entra em lado nenhum. É o número mais perigoso do item.
• Trocar o sinal ao calcular $d$. De $-9-15+d=0$ vem $d=+24$, não $d=-24$. Escreve a linha inteira em vez de a fazer de cabeça.
• Entregar $k$ em vez do ponto. Vale $1$ ponto perdido no mínimo, e às vezes mais, porque a última etapa depende dela.
• Erros de fração no fim. $3+\frac{5}{2}$ é $\frac{11}{2}$, não $\frac{8}{2}$ nem $\frac{5}{2}$. O enunciado não pede aproximação, por isso a resposta tem de ficar em frações exactas — escrever $5,5$ e $-2,5$ é aceite, mas $\frac{11}{2}$ e $-\frac{5}{2}$ é a forma segura.
• Não escrever a equação vetorial da reta. São $2$ pontos que se recebem só por a escrever, mesmo que o resto corra mal.