Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 11.(AE2023), resolvido

O método da bissecção é um algoritmo: parte-se de um intervalo onde se sabe que existe um zero, corta-se ao meio, fica-se com a metade que continua a conter o zero, e repete-se. Cada corte divide a incerteza por dois. O que este item mede não é a conta — é se cumpres o algoritmo com rigor e se sabes dizer quando podes parar.

passar de «resolver $f(x)=2$» para «encontrar um zero»

A bissecção procura zeros, não soluções de uma equação qualquer. Por isso o primeiro passo — e vale 3 pontos, a etapa mais bem paga do item — é definir a função auxiliar

Agora a pergunta é outra, equivalente: qual é o zero de $g$ em $\left]0,1\right[$?

A função $g$ é contínua em $[-3,+\infty [$, porque $f$ é contínua nesse intervalo (hipótese do enunciado) e subtrair a constante $2$ não estraga a continuidade. É a continuidade que legitima o método.

1.º — primeiro corte: o ponto médio de $\left]0,1\right[$

O ponto médio é $\frac{0+1}{2}=0,5$. Calculo $g$ aí e no extremo direito:

Os sinais são contrários: $g(0,5)<0<g(1)$. Como $g$ é contínua, o zero está em $\left]0,5;1\right[$.

Repara que $\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$ é exacto — aproveita sempre os valores exactos que aparecerem.

2.º — segundo corte: o ponto médio de $\left]0,5;1\right[$

O ponto médio é $\frac{0,5+1}{2}=0,75$.

Agora $g(0,75)>0$. O sinal mudou entre $0,5$ e $0,75$, logo o zero está em $\left]0,5;0,75\right[$:

A regra de decisão é sempre a mesma: fica-se com a metade cujos extremos têm $g$ com sinais contrários.

3.º — terceiro corte: o ponto médio de $\left]0,5;0,75\right[$

O ponto médio é $\frac{0,5+0,75}{2}=0,625$.

É negativo, e $g(0,75)>0$, portanto o zero está em

4.º — saber PARAR — é aqui que o erro pedido entra

Esta é a parte do método que mais alunos deixam por dizer, e vale 2 pontos.

Se tomares para aproximação o ponto médio de um intervalo, o erro máximo que cometes é metade da amplitude desse intervalo: o ponto médio está, no pior dos casos, a meia amplitude de qualquer ponto do intervalo.

A amplitude de $\left]0,625;0,75\right[$ é

Logo metade dela é $0,0625<0,1$: o erro fica abaixo do que o enunciado exige, e posso parar. (Foi por isso que precisei de três cortes e não de dois: a amplitude anterior era $0,25$, cuja metade, $0,125$, ainda ultrapassa $0,1$.)

o valor a apresentar

Uma aproximação da solução, com erro inferior a $0,1$, é $0,6875$.

O enunciado manda conservar pelo menos três casas decimais nos cálculos intermédios — é por isso que escrevo $-1,153$, $0,545$ e $-0,414$, e não $-1,2$ ou $0,5$. O que interessa nesses números é só o sinal, mas quem arredonda de mais arrisca enganar-se no sinal quando o valor é pequeno.

Os critérios aceitam qualquer valor em $\left]0,625;0,6875\right]$ desde que justificado — mas o ponto médio é a resposta natural do método, e é a que não precisa de explicação extra.

a resposta é plausível?

O valor exacto da solução é $\approx 0,684$, e $\left|0,6875-0,684\right|\approx 0,004$, muito abaixo de $0,1$.

Uma verificação rápida na folha: $g(0,6875)=e^{1,375}-\sqrt{3,6875}-2\approx 3,955-1,920-2\approx 0,035$, um valor muito próximo de zero. Se te tivesse dado um número grande, terias errado algum corte.

onde é que se perdem pontos

• Não definir a função auxiliar $g(x)=f(x)-2$ e trabalhar directamente com $f$ comparando com $2$: são os 3 pontos da primeira etapa, a mais bem paga.
• Parar no segundo corte. A amplitude de $\left]0,5;0,75\right[$ é $0,25$ e metade dela é $0,125>0,1$ — ainda não chega.
• Dar mais cortes do que os necessários. Não é erro, mas gasta tempo e multiplica as oportunidades de errar uma conta.
• Não escrever as desigualdades com os sinais ($g(0,5)<0<g(0,75)$): cada uma é uma etapa pontuada, e não basta mostrar a tabela de valores.
• Esquecer a frase sobre a amplitude e o erro: perdem-se 2 pontos mesmo com o valor final certo.
• Arredondar os valores intermédios a menos de três casas decimais, contra o que o enunciado pede.
• Apresentar o extremo do intervalo ($0,625$ ou $0,75$) em vez do ponto médio.
• Enganar-se no radicando: é $\sqrt{x+3}$, com o $x$ do ponto que estás a testar, e não $\sqrt{3}$.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

A bissecção é sempre o mesmo guião, e escreve-se por ordem:

1. define $g(x)=f(x)-k$, onde $k$ é o valor que a equação iguala, e diz que $g$ é contínua;
2. confirma a mudança de sinal nos extremos do intervalo de partida;
3. corta ao meio, calcula $g$ no ponto médio, fica com a metade onde o sinal muda — e escreve a desigualdade de cada corte;
4. pára quando metade da amplitude for menor do que o erro pedido, e di-lo explicitamente;
5. apresenta o ponto médio do último intervalo.

Conta de cabeça antes de começar: partindo de um intervalo de amplitude $1$ e querendo erro inferior a $0,1$, precisas de $n$ cortes tais que $\frac{1}{2^{n+1}}<0,1$, ou seja $n=3$. Saber isto à partida diz-te quantas contas vais fazer.