Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 3.(AE2018), resolvido

O que governa este item. Olha primeiro para a forma do limite, antes de qualquer conta. A base $\frac{n+2}{n}$ tende para $1$ e o expoente $3n$ tende para $+\infty$ : é uma indeterminação do tipo $1^{\infty }$. Reconhecê-la é o item todo — porque é ela que te obriga a usar o limite notável do formulário, em vez de substituir.

O limite notável que tens na prova é

e o trabalho consiste em moldar $u_n$ até ele aparecer.

1.º — separar a fração para fazer aparecer o «$1+$»

O limite notável começa por $1+\text{alguma coisa}$ . Por isso a primeira coisa a fazer é partir a fração em duas parcelas:

Já se parece com o notável, mas ainda há duas diferenças: o numerador é $2$ e não $1$ , e o expoente é $3n$ e não $n$ .

2.º — arrumar o expoente $3n$

Usa a propriedade das potências $a^{mn}={\left(a^m\right)}^n$ ao contrário, tirando o $3$ para fora:

Agora o expoente de dentro é exactamente $n$ . Este passo é onde nascem os dois distratores com $e$ — quem multiplica mal, ou soma em vez de multiplicar, sai daqui com $e^5$ .

3.º — tratar o $2$ do numerador

Falta pôr ${\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n$ na forma do notável. Escreve $\frac{2}{n}=\frac{1}{\frac{n}{2}}$ e chama $m=\frac{n}{2}$ ; quando $n\to +\infty$ também $m\to +\infty$ , e $n=2m$ :

Vale a pena guardar isto como regra pronta a usar, porque cai em todos os exames:

ou seja, o que sobe ao expoente de $e$ é o número que está por cima do $n$.

4.º — juntar tudo

A resposta é a opção (D).

Numa linha: o $2$ da fração e o $3$ do expoente multiplicam-se, porque um vem como expoente de $e$ e o outro como expoente de toda a potência.

de onde vem cada opção errada

• (A) $1$ — é o erro de quem não vê a indeterminação: repara que $\frac{n+2}{n}\to 1$ e conclui que $1^{3n}=1$ . Não serve, porque a base não é $1$ : é um número ligeiramente maior do que $1$ , e elevá-lo a um expoente que cresce sem limite pode dar qualquer coisa. É exactamente por isso que $1^{\infty }$ se chama indeterminação.
• (B) $6$ — sai de fazer $2\times 3=6$ e deixar cair o $e$ pelo caminho. O produto dos dois números está certo; o que falta é perceber que ele é o expoente de $e$ , e não o limite.
• (C) $e^5$ — sai de somar $2+3=5$ em vez de multiplicar. É o distrator mais próximo da resposta certa, e apanha quem tem a regra $\lim {\left(1+\frac{a}{n}\right)}^n=e^a$ memorizada mas não percebida: o $3$ não se junta ao $2$ , eleva ao cubo o $e^2$ que já se obteve.

onde é que este item se perde

• Substituir em vez de reconhecer a indeterminação. Qualquer resposta obtida por substituição directa aqui está errada por construção.
• Partir a fração ao contrário, escrevendo $\frac{n+2}{n}=\frac{2}{n}+\frac{n}{2}$ ou coisa do género. A divisão distribui-se pelo numerador, não pelo denominador.
• Confundir multiplicar com somar expoentes. ${\left(e^2\right)}^3=e^6$ , porque ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$ ; $e^2\times e^3$ é que daria $e^5$ — e não é isso que está escrito.
• Perder o $e$. Num item de escolha múltipla com um $6$ à espera na lista, esse esquecimento tem opção reservada.

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Sempre que vires uma potência com a variável no expoente e uma base que tende para $1$ , escreve imediatamente a base na forma $1+\frac{a}{n}$ e o expoente na forma $c\times n$ . O limite é então $e^{ac}$ , sem mais contas. Toda a dificuldade destes itens está em fazer aparecer essas duas formas.