Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 8, resolvido

O que governa este item é a definição de produto escalar por módulos e ângulo:

Não há coordenadas na figura, logo é esta a via. Escreve a fórmula primeiro e vê o que te falta: $\Vert \overrightarrow{AO}\Vert$ (que é o raio, $4$ , e já tens), $\Vert \overrightarrow{AB}\Vert$ (o comprimento da corda) e o ângulo entre os dois vectores.

⚠️ O ângulo entre dois vectores mede-se com os dois a partirem do mesmo ponto. $\overrightarrow{AO}$ e $\overrightarrow{AB}$ partem ambos de $A$ , portanto o ângulo é o ângulo interno do triângulo $[OAB]$ no vértice $A$ , isto é, $B\hat{A}O$ . Se um dos vectores estivesse escrito ao contrário — $\overrightarrow{OA}$ em vez de $\overrightarrow{AO}$ — o ângulo seria o suplementar e o sinal do resultado mudava.

1.º — do comprimento do arco para o ângulo ao centro

Um arco de circunferência é uma fracção do perímetro, e essa fracção é a mesma que o ângulo ao centro é do ângulo giro. O perímetro vale

e o arco vale $\frac{8\pi }{3}$ , ou seja, exactamente $\frac{1}{3}$ do perímetro. Logo:

Em alternativa, directamente pela fórmula do comprimento de arco em radianos, $\ell =r\theta$ :

Trabalha sempre em radianos aqui — é a única unidade em que $\ell =r\theta$ funciona sem factores de conversão.

2.º — usar o triângulo isósceles para obter o ângulo em $A$

$[OA]$ e $[OB]$ são raios da mesma circunferência, portanto

e o triângulo $[OAB]$ é isósceles. Num triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados iguais são iguais:

Esta igualdade é uma etapa pontuada por si ($2$ pontos) — escreve-a, não a deixes implícita. Com a soma dos ângulos internos:

Já tens o ângulo da fórmula do produto escalar. Falta o comprimento da corda.

3.º — o comprimento da corda, pela altura do triângulo isósceles

Seja $M$ o ponto médio de $[AB]$ . Num triângulo isósceles, a mediana relativa à base é também altura, logo o triângulo $[OAM]$ é rectângulo em $M$ . É isso que permite usar trigonometria do triângulo rectângulo:

Como $M$ é o ponto médio,

Não te esqueças de duplicar. Parar em $2\sqrt{3}$ é o erro que mais custa neste item: o resultado final vinha $12$ em vez de $24$ .

4.º — aplicar a definição de produto escalar

decompor o vector, sem trigonometria da corda

Há um segundo processo, aceite pelo critério, que evita calcular $\overline{AB}$ . Usa a relação de Chasles para partir $\overrightarrow{AB}$ em dois vectores cujos módulos já conheces:

Pela distributividade do produto escalar em relação à adição de vectores:

A primeira parcela é o quadrado do módulo, porque o ângulo de um vector consigo próprio é nulo:

Na segunda, $\overrightarrow{AO}$ e $\overrightarrow{OB}$ não partem do mesmo ponto — por isso troca-se o sentido de um deles, o que muda o sinal do produto:

Agora $\overrightarrow{OA}$ e $\overrightarrow{OB}$ partem ambos de $O$ , e o ângulo entre eles é $A\hat{O}B=\frac{2\pi }{3}$ :

Somando:

Mesmo resultado, sem uma única raiz quadrada. Fixa o par de ideias que o torna possível: decompor um vector numa soma cujas parcelas têm módulo e ângulo conhecidos, e trocar o sentido de um vector trocando o sinal do produto escalar.

o sinal e a ordem de grandeza batem certo?

O resultado é positivo, e tem de ser: o ângulo entre $\overrightarrow{AO}$ e $\overrightarrow{AB}$ é $\frac{\pi }{6}$ , que é agudo, e o cosseno de um ângulo agudo é positivo. Se tivesses obtido um valor negativo, terias usado o ângulo errado (provavelmente o $\frac{2\pi }{3}$ do centro, ou o suplementar de $\frac{\pi }{6}$).

Quanto à grandeza: o máximo possível seria $\Vert \overrightarrow{AO}\Vert \times \Vert \overrightarrow{AB}\Vert =4\times 4\sqrt{3}\approx 27,7$ (se os vectores fossem colineares e do mesmo sentido). Obtivemos $24$ , que é $\approx 87\%$ desse máximo — coerente com $\cos \frac{\pi }{6}\approx 0,87$ .

o que faz falhar este item

• Usar o ângulo ao centro $\frac{2\pi }{3}$ como ângulo entre os vectores. Daria $4\times 4\sqrt{3}\times \left(-\frac{1}{2}\right)=-8\sqrt{3}$ . O ângulo é o do vértice $A$ , porque é de $A$ que os dois vectores partem.
• Confundir $\overrightarrow{AO}$ com $\overrightarrow{OA}$ . São simétricos; trocá-los inverte o sinal do resultado.
• Parar em $\overline{AM}=2\sqrt{3}$ e usar esse valor como $\overline{AB}$ . Dá $12$ .
• Converter o arco em graus a meio do caminho e depois usar $\ell =r\theta$ , que só vale em radianos.
• Esquecer que $[OA]$ e $[OB]$ são raios e não reconhecer o triângulo isósceles — sem isso não há forma de chegar ao ângulo em $A$ .
• Não escrever $B\hat{A}O=O\hat{B}A$ . São $2$ pontos de uma etapa própria no critério.
• Trocar $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ , que é $\cos \frac{\pi }{3}$ . Daria $8\sqrt{3}$ .
• Simplificar mal a raiz no fim: $\sqrt{3}\times \sqrt{3}=3$ , e não $\sqrt{9}=3$ por engano com $\sqrt{3}+\sqrt{3}$ .

para reconhecer o próximo exercício deste tipo

Num item de produto escalar sem coordenadas, escreve logo $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \cos \theta$ e faz uma lista das três quantidades em falta — isso transforma o problema de vectores num problema de geometria do triângulo. Antes de escolher $\theta$ , desenha os dois vectores a partir da mesma origem; é o erro que mais custa. E guarda a via alternativa: quando um dos vectores se decompõe numa soma de raios ou de lados conhecidos, a distributividade resolve o item sem trigonometria nenhuma.