Exame de Matemática A 2026 · Época especial — item 3.(AE2023), resolvido

O que governa este item. Em juro composto, o juro de cada período passa a fazer parte do capital e rende no período seguinte. Por isso o capital multiplica-se por um factor fixo em cada capitalização, e ao fim de $n$ capitalizações fica

onde $i$ é a taxa de cada período e $n$ é o número de períodos. Todo o item se decide em ler bem estas duas coisas — e é de propósito que o enunciado dá a taxa em anos e as capitalizações em meses.

1.º — identificar os três números

• Capital inicial: $C_i=5740$ euros.
• Taxa de cada período. A taxa dada é anual, $2\%=0,02$ , mas a capitalização é mensal. Como há $12$ meses num ano, a taxa mensal é

• Número de períodos. Dois anos, com uma capitalização por mês:

É aqui que o item se ganha ou se perde. Quem mantém a taxa anual com $n=24$ , ou quem divide a taxa por $12$ mas usa $n=2$ , sai fora das opções ou cai num distrator. A regra é simples e não tem excepções: a taxa e o número de períodos referem-se sempre à mesma unidade de tempo.

2.º — aplicar a fórmula

Este item permite calculadora — não está na lista dos que a proíbem —, por isso a conta faz-se directamente na máquina. Convém, ainda assim, calcular o factor de uma vez só, sem arredondar a meio:

arredondar às unidades

O enunciado pede o valor arredondado às unidades. De $5974,05$ vem $5974$ — a primeira casa decimal é $0$ , logo arredonda-se para baixo. Resposta: opção (D).

⚠️ Não arredondes a taxa. Se escreveres $\frac{0,02}{12}\approx 0,0017$ e só depois elevares a $24$ , obténs $5974,5$ , que arredonda para $5975$ — um valor que nem sequer está nas opções. Guarda a divisão dentro da expressão e deixa a calculadora fazer tudo de uma vez.

de onde vem cada opção errada

As três opções erradas correspondem, cada uma, a uma leitura diferente (e errada) do regime de capitalização. Todas dão números vizinhos — é esse o desenho do item.

• (A) $5970$ — trocar juro composto por juro simples. No juro simples o juro não rende juro, e ao fim de dois anos ganha-se $2\%$ do capital inicial em cada ano: $5740\times (1+0,02\times 2)=5740\times 1,04=5969,6\approx 5970$ . É o menor dos quatro, como tinha de ser: o juro simples rende sempre menos do que o composto.
• (B) $5972$ — ignorar a palavra «mensalmente» e capitalizar uma vez por ano: $5740\times 1,02^2=5971,896\approx 5972$ .
• (C) $5973$ — capitalizar semestralmente em vez de mensalmente, ou seja $4$ períodos de $1\%$ : $5740\times 1,01^4\approx 5973,07\approx 5973$ . É o distrator mais perigoso, por estar a um euro da resposta certa.

Repara na ordem: $5970<5972<5973<5974$ . Quanto mais frequente a capitalização, maior o capital final, porque o juro começa a render mais cedo. Se percebeste isto, sabes logo que a resposta certa é a maior das quatro — é a única com capitalização mensal, que é a mais frequente de todas as que aparecem.

uma estimativa de cabeça

A $2\%$ ao ano durante dois anos, o capital cresce pouco mais de $4\%$ . E $4\%$ de $5740$ é cerca de $230$ euros, o que dá qualquer coisa à volta de $5970$ . As quatro opções estão todas nessa vizinhança — o que confirma que o item não se resolve por ordem de grandeza, e que tens mesmo de fazer a conta certa.

onde é que este item se perde

• Usar $n=2$ com a taxa mensal, dando $5740\times {\left(1+\frac{0,02}{12}\right)}^2\approx 5759$ — bem fora das opções, o que pelo menos avisa que algo está errado.
• Usar a taxa anual com $n=24$ , dando $5740\times 1,02^{24}\approx 9232$ — um disparate, mas que acontece a quem copia a fórmula sem converter a taxa.
• Arredondar a taxa mensal antes de elevar. Já mostrado acima: leva a $5975$ , fora das opções.
• Arredondar mal no fim. «Às unidades» significa sem casas decimais: $5974,05\to 5974$ .
• Ler «taxa de juro anual» como «taxa de cada capitalização». É a armadilha central do item, e o que separa (B) de (D).