Este item não pede uma única conta: pede duas leituras, e só duas. A monotonia de f lê-se no sinal de f′; a concavidade do gráfico de f lê-se no sentido de variação de f′ (equivalentemente, no sinal de f′′). Confundir «f′ cresce» com «f cresce» é exactamente o que a prova está a medir aqui.
1.º — arrumar o que o enunciado te dá
Três factos, e todos são precisos:
- 0<a<b<c — portanto a está dentro do intervalo [0,b];
- a é o único zero de f′;
- f′ decresce estritamente em [0,b] e cresce estritamente em [b,c].
Repara que tudo o que te é dito é sobre f′. Nada é dito directamente sobre f — é por isso que cada conclusão sobre f tem de vir de uma regra explícita.
2.º — proposição I — a concavidade vem do SENTIDO DE VARIAÇÃO de f′
A proposição afirma que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em [b,c].
Mas o enunciado diz que f′ é estritamente crescente em [b,c]. Como f é duas vezes diferenciável, uma função derivada crescente num intervalo tem derivada não negativa aí:
f′ crescente em [b,c]⟹f′′(x)≥0 em [b,c]E o sinal de f′′ é precisamente o que fixa a concavidade: f′′≥0 significa concavidade voltada para cima.
Logo o gráfico de f tem, em [b,c], a concavidade voltada para cima — o contrário do que a proposição I afirma. A proposição I é falsa.
Nota: para esta justificação não precisas de saber nada sobre o zero a. A única informação que conta é «f′ é estritamente crescente em [b,c]».
3.º — proposição II — a monotonia vem do SINAL de f′
A proposição afirma que f é estritamente decrescente em [0,a]. Para isso, seria preciso f′(x)<0 nesse intervalo. Vamos então determinar o sinal de f′ em [0,a[.
Sabes que f′ é estritamente decrescente em [0,b] e que a é o único zero de f′. Como a<b, esse zero cai dentro da zona onde f′ decresce — e é isso que permite concluir.
Numa função estritamente decrescente, à esquerda do zero os valores são maiores do que no zero:
0≤x<a⟹f′(x)>f′(a)=0Portanto f′(x)>0 para todo o x∈[0,a[.
Derivada positiva num intervalo significa função estritamente crescente nesse intervalo. Logo f é estritamente crescente em [0,a] — o oposto do que a proposição II afirma. A proposição II é falsa.
desenha o esboço de f′ e lê as duas respostas de uma vez
Imagina o gráfico de f′: parte de um valor positivo em x=0, desce, corta o eixo das abcissas em x=a, continua a descer (já em valores negativos) até ao mínimo em x=b, e a partir daí sobe até x=c.
Desse único esboço lês tudo:
- f′>0 em [0,a[, logo f sobe aí (mata a proposição II);
- f′ está a subir em [b,c], logo a concavidade de f é para cima aí (mata a proposição I).
Fazer este esboço no rascunho custa dez segundos e evita trocar os dois critérios.
este item é corrigido por NÍVEIS, não por etapas
São duas grelhas, e elas somam: Conteúdos (até 12 pontos) e Linguagem Científica (até 2 pontos), o que dá os 14.
Em Conteúdos, o nível máximo exige as duas justificações completas (12). Uma completa e a outra incompleta vale 9. Só uma completa — ou as duas incompletas — vale 6. Só uma incompleta vale 3.
A tradução prática é directa: escreve sempre as duas, mesmo que a segunda te pareça menos segura. Uma justificação incompleta a mais faz-te subir de 6 para 9 pontos.
Os 2 pontos de Linguagem Científica ganham-se com as palavras certas, ditas por extenso: «estritamente crescente», «concavidade voltada para cima», «função derivada», «zero da função f′».
onde é que se perdem pontos
- Justificar só uma das proposições — cortas os Conteúdos a metade, no melhor dos casos.
- Dizer «f′ é crescente em [b,c], logo f é crescente em [b,c]» — é a troca clássica: aplicaste o critério da monotonia onde o enunciado te pede o da concavidade.
- Escrever só «a proposição I é falsa porque a concavidade é para cima», sem invocar o crescimento de f′. Sem a razão, a justificação conta como incompleta.
- Esquecer que a<b na proposição II. É essa desigualdade que garante que a está na zona onde f′ decresce; sem ela o argumento não fecha.
- Confundir o intervalo: a proposição II é sobre [0,a], não sobre [a,b] — em [a,b] a função f decresce mesmo.
- Usar linguagem vaga («a função vira para cima») em vez do vocabulário matemático — perde-se 1 ponto na grelha B.
para reconhecer o próximo exercício deste tipo
Guarda o par de leituras e nunca mais as trocas:
- o sinal de f′ diz a monotonia de f;
- o sentido de variação de f′ (ou seja, o sinal de f′′) diz a concavidade do gráfico de f.
E guarda o truque: quando o enunciado só fala de f′, esboça f′. Quase todos os itens deste tipo se resolvem a ler esse esboço duas vezes, uma com cada critério.