Este item não te pede contas: pede-te que digas porquê. E há só duas ferramentas a governá-lo, uma para cada proposição.
A primeira é a relação entre o sinal de f′ e os extremos de f . A segunda é a relação entre a monotonia de f′ e o sentido da concavidade do gráfico de f . Repara que nunca precisas da expressão de f — nem ela te é dada. Tudo o que sabes sobre f tens de o ler no gráfico e nas três condições dadas sobre f′ .
1.º — traduzir as três condições para uma tabela de sinal de f′
Lê com atenção a segunda condição: f′(x)<0⇔−1<x<0 . Esta equivalência é muito mais forte do que parece. Ela diz duas coisas ao mesmo tempo:
- se −1<x<0 , então f′(x)<0 ;
- se x estiver fora de ]−1,0[ , então f′(x)≥0 — porque se fosse negativo, o x teria de estar dentro do intervalo.
Junta isto aos zeros dados ( −1 , 0 e 3 ) e o sinal de f′ fica completamente determinado:
| x | −∞ | | −1 | | 0 | | 3 | | +∞ |
|---|
| f′ | | + | 0 | − | 0 | + | 0 | + | |
| f | | ↗ | máx. | ↘ | mín. | ↗ | | ↗ | |
A linha decisiva é a do 3 : à esquerda de 3 o sinal é + e à direita de 3 o sinal continua + . Não há mudança de sinal.
2.º — porque é que f(3) não é extremo
O critério é este, e convém dizê-lo por inteiro: sendo f diferenciável, f tem um extremo relativo em x0 se e só se f′ muda de sinal em x0 . Ter f′(x0)=0 não chega — é condição necessária, não suficiente.
Em x=3 tem-se f′(3)=0 mas f′ é não negativa de ambos os lados. Logo f é crescente antes de 3 e continua crescente depois de 3 : o ponto 3 é apenas um ponto de tangente horizontal, um patamar na subida. Não é extremo.
É exactamente isso que o gráfico te mostra: em −1 e em 0 a curva de f′ atravessa o eixo Ox ; em 3 ela toca o eixo e volta a subir.
3.º — concluir que a proposição I é falsa
Dos três zeros de f′ , só dois correspondem a mudança de sinal. Logo f tem exactamente dois extremos relativos — um máximo relativo em x=−1 e um mínimo relativo em x=0 — e não três.
Como f′ tem apenas três zeros, não pode haver mais nenhum candidato a extremo. Está provado que a proposição I é falsa. Esta conclusão explícita é obrigatória: o item pede que justifiques a falsidade, não que descrevas a situação.
4.º — o que a monotonia de f′ diz sobre a concavidade de f
Agora a segunda proposição, e aqui o objecto de estudo muda: já não é o sinal de f′ , é a monotonia de f′ .
A regra que governa o sentido da concavidade é esta:
f′′≥0 em I⟺f′ eˊ crescente em I⟺o graˊfico de f tem concavidade voltada para cima em IOu seja: para saber o sentido da concavidade de f não precisas de calcular f′′ — basta saber se f′ sobe ou desce. E isso está-te dado.
A terceira condição diz que f′ é monótona em [3,+∞[ . Monótona, só por si, ainda não diz se é crescente ou decrescente; é preciso mais um argumento. Tens dois à mão, e qualquer um serve:
- f′(3)=0 e, para x>3 , f′(x)>0 (porque f′ só é negativa em ]−1,0[ e 3 é o último zero). Uma função monótona que parte de 0 e toma valores positivos à frente é crescente;
- ou, simplesmente, a leitura do gráfico: a partir de 3 a curva de f′ sobe.
5.º — concluir que a proposição II é falsa
Sendo f′ crescente em [3,+∞[ , a sua derivada f′′ é não negativa nesse intervalo. Logo o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em ]3,+∞[ — precisamente o contrário do que a proposição afirma. A proposição II é falsa.
um exemplo concreto que respeita tudo o que é dado
Se quiseres ver com os teus olhos que não há batota, constrói uma f que sirva. A função f′ tem de ter grau quatro (porque f tem grau cinco), zeros em −1 , 0 e 3 , e sinal negativo só em ]−1,0[ . Isso obriga o zero 3 a ser duplo:
f′(x)=x(x+1)(x−3)2Confirma o sinal: (x−3)2≥0 sempre, portanto o sinal de f′ é o de x(x+1) , que é negativo exactamente em ]−1,0[ . ✔
Desenvolvendo, f′(x)=x4−5x3+3x2+9x , donde
f(x)=5x5−45x4+x3+29x2que é mesmo polinomial de grau cinco. E f′′(x)=4x3−15x2+6x+9 dá, por exemplo, f′′(4)=256−240+24+9=49>0 : concavidade voltada para cima depois de 3 , como concluíste.
este item é corrigido por níveis, não por etapas
Ao contrário da maioria dos itens de desenvolvimento, aqui não há uma lista de etapas com pontos: há uma grelha com dois parâmetros.
- A — Conteúdos (até 12 pontos): 12 se apresentares as duas justificações completas, 9 se uma for completa e a outra incompleta, 6 se só apresentares uma completa ou as duas incompletas, 3 se apresentares uma só, incompleta.
- B — Linguagem Científica (até 2 pontos): 2 se usares adequadamente o vocabulário da Matemática, 1 se o usares com uma ou mais falhas.
Duas leituras práticas disto. Primeira: cada justificação vale metade — escrever muito bem sobre a proposição I e nada sobre a II corta-te a nota a meio, portanto responde sempre às duas, mesmo que a segunda te saia curta. Segunda: os termos técnicos contam pontos. Escreve extremo relativo, mudança de sinal, função derivada, concavidade voltada para cima, crescente. Não escrevas «a curva vira ao contrário».
onde se perdem pontos neste item
- Dizer só que f′ tem três zeros e concluir daí três extremos — é precisamente o erro que a proposição I te arma. Zero de f′ não é sinónimo de extremo; o que conta é a mudança de sinal.
- Não dizer porque é que f′ não muda de sinal em 3 . Afirmar «em 3 não há extremo» sem invocar a condição f′(x)<0⇔−1<x<0 (ou a leitura do gráfico) deixa a justificação incompleta — e incompleta é metade dos pontos do parâmetro A.
- Trocar sinal por monotonia na proposição II. Muita gente escreve «como f′ é positiva depois de 3 , a concavidade é para cima». É uma conclusão certa por um motivo errado: f′ positiva diz que f é crescente, não diz nada sobre a concavidade. O que decide a concavidade é f′ ser crescente.
- Responder a uma só proposição. O enunciado pede uma razão para cada uma; o parâmetro A está construído para castigar quem responde a metade.
- Tentar arranjar a expressão de f . Não é preciso e, se te enganares, gastas o tempo todo. Toda a informação necessária está no gráfico e nas três condições.
- Confundir concavidade com sentido de variação. «Vai para cima» não é «tem concavidade voltada para cima»: a primeira é sobre f subir, a segunda é sobre f subir cada vez mais depressa.
para reconhecer o próximo exercício deste tipo
Sempre que te derem o gráfico de f′ e te perguntarem sobre f , há duas perguntas diferentes e nunca se misturam:
| o que queres saber sobre f | o que olhas em f′ |
|---|
| onde f cresce ou decresce | o sinal de f′ |
| onde f tem extremos | onde o sinal de f′ muda |
| o sentido da concavidade de f | se f′ é crescente ou decrescente |
| onde f tem pontos de inflexão | onde f′ tem extremos |
Fixa a linha do meio: zero de f′ sem mudança de sinal é um patamar, não um extremo — e o gráfico avisa-te sempre, porque nesses pontos a curva de f′ toca o eixo em vez de o atravessar.
